Решение: Столкновение брошенных шариков
Пластилиновый шарик в момент $t = 0$ бросают с горизонтальной поверхности Земли под углом $\alpha$ к горизонту. Одновременно с некоторой высоты над поверхностью Земли начинает падать из состояния покоя другой такой же шарик. Шарики абсолютно неупруго сталкиваются в воздухе. Сразу после столкновения скорость шариков направлена горизонтально. Время от столкновения шариков до их падения на Землю равно $\tau$. С какой начальной скоростью $v_0$ был брошен первый шарик? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
9 шаговОбозначим через $t$ время от начала движения шариков до их столкновения. До столкновения первый шарик имеет вертикальную скорость $v_0\sin\alpha - gt$, а второй шарик, падающий из состояния покоя, — скорость $-gt$.
$$v_{1y}=v_0\sin\alpha-gt,\qquad v_{2y}=-gt$$Столкновение абсолютно неупругое, поэтому после него шарики движутся как одно тело. По условию их общая скорость сразу после столкновения горизонтальна, то есть вертикальная компонента скорости равна нулю. По закону сохранения импульса в вертикальном направлении:
$$m(v_0\sin\alpha-gt)+m(-gt)=0$$Отсюда находим время от начала движения до столкновения:
$$t=\frac{v_0\sin\alpha}{2g}$$Высота столкновения определяется движением первого шарика до столкновения:
$$h=v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{gt^2}{2}$$Подставляя найденное значение $t$, получаем:
$$h=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}-\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\frac{3v_0^2\sin^2\alpha}{8g}$$Сразу после столкновения вертикальная скорость равна нулю. Поэтому шарики падают с высоты $h$ без начальной вертикальной скорости. За время $\tau$ они проходят расстояние:
$$h=\frac{g\tau^2}{2}$$Приравниваем два выражения для высоты столкновения и решаем уравнение относительно начальной скорости:
$$\frac{3v_0^2\sin^2\alpha}{8g}=\frac{g\tau^2}{2},\qquad v_0^2=\frac{4g^2\tau^2}{3\sin^2\alpha}$$Начальная скорость имеет положительное значение, поэтому:
$$v_0=\frac{2g\tau}{\sqrt{3}\sin\alpha}$$Закон сохранения импульса применён только на коротком промежутке столкновения: внешним импульсом силы тяжести за это время можно пренебречь. После столкновения движение рассматривается под действием силы тяжести, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ускорение свободного падения считаем постоянным, так как размеры области движения малы по сравнению с радиусом Земли.
$v_0=\dfrac{2g\tau}{\sqrt{3}\sin\alpha}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что второй шарик также имеет вертикальную скорость $-gt$ к моменту столкновения.
Применяют закон сохранения механической энергии при абсолютно неупругом столкновении.
Используют высоту, пройденную первым шариком до столкновения, без учёта того, что после столкновения вертикальная скорость равна нулю.
Не обосновывают, почему при столкновении можно использовать закон сохранения импульса.