Решение: Длина пружины между брусками
По неподвижной гладкой наклонной плоскости с углом при основании $\alpha = 30^\circ$ движутся вверх два одинаковых бруска массой $m = 0{,}25\ \text{кг}$ каждый, скреплённые между собой лёгкой пружиной с жёсткостью $k = 100\ \text{Н/м}$. Длина пружины $L$ в процессе движения остаётся постоянной. Верхний брусок соединён невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый блок, с грузом массой $M = 2\ \text{кг}$. Чему равна длина пружины $L$ при движении брусков, если в нерастянутом состоянии её длина $l = 15\ \text{см}$? Трением в оси блока и сопротивлением воздуха пренебречь. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговПоскольку пружина лёгкая, нить нерастяжима, а длина пружины во время движения постоянна, оба бруска имеют одинаковые по модулю ускорения. Нить и блок невесомы, поэтому натяжение нити одинаково на обоих участках.
На нижний брусок вдоль плоскости действуют сила упругости пружины вверх и составляющая силы тяжести $mg\sin\alpha$ вниз. По второму закону Ньютона:
$$F_\text{упр} - mg\sin\alpha = ma$$Для двух брусков как единой системы сила упругости является внутренней и исключается. Внешняя сила вдоль направления движения равна $T - 2mg\sin\alpha$, поэтому:
$$T - 2mg\sin\alpha = 2ma$$Для подвешенного груза, движущегося вниз, по второму закону Ньютона:
$$Mg - T = Ma$$Складывая уравнения для двух брусков и груза, получаем ускорение системы:
$$a = \frac{Mg - 2mg\sin\alpha}{M+2m} = \frac{2g - 2\cdot0{,}25g\cdot0{,}5}{2+2\cdot0{,}25} = 0{,}7g$$Из уравнения движения нижнего бруска находим силу упругости пружины:
$$F_\text{упр} = m(a+g\sin\alpha) = 0{,}25(0{,}7g+0{,}5g)=0{,}3g=3\ \text{Н}$$По закону Гука удлинение пружины равно:
$$L-l = \frac{F_\text{упр}}{k} = \frac{3}{100}=0{,}03\ \text{м}=3\ \text{см}$$Следовательно, длина пружины при движении равна:
$$L = l + 0{,}03\ \text{м}=0{,}15\ \text{м}+0{,}03\ \text{м}=0{,}18\ \text{м}$$Длина пружины $L = 0{,}18\ \text{м} = 18\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать составляющую силы тяжести вдоль наклонной плоскости.
Считать, что сила упругости является внешней силой для системы из двух брусков.
Использовать разные ускорения для двух брусков при постоянной длине пружины.
Перепутать удлинение пружины $L-l$ с её полной длиной $L$.