Решение: Скольжение шайбы на диске
На горизонтальный диск радиусом $1\ \text{м}$ кладут небольшую шайбу на расстоянии $80\ \text{см}$ от его центра. Затем диск плавно раскручивают относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, до угловой скорости $\omega_1 = 2\ \text{рад/с}$. Эксперимент повторяют, раскручивая диск до угловой скорости $\omega_2 = 1{,}5\ \text{рад/с}$. Коэффициент трения между поверхностью диска и шайбой равен $0{,}4$. Для каждого опыта определите, начнёт ли шайба скользить по диску во время его раскручивания. Ответ поясните, опираясь на законы механики.
Решение по шагам
9 шаговЕсли шайба не скользит, она вращается вместе с диском по окружности радиусом $r = 0{,}8\ \text{м}$. Центростремительное ускорение шайбы равно:
$$a_{ц} = \omega^2 r$$Центростремительную силу создаёт сила трения. Её максимальное значение на горизонтальной поверхности:
$$F_{\text{тр max}} = \mu N = \mu mg$$Условие отсутствия скольжения имеет вид:
$$m\omega^2r \leq \mu mg,\qquad \omega^2r \leq \mu g$$Для первого опыта требуемое центростремительное ускорение равно:
$$a_{ц1} = \omega_1^2r = 2^2\cdot 0{,}8 = 3{,}2\ \text{м/с}^2$$Максимальное ускорение, которое может обеспечить сила трения, равно:
$$a_{\text{тр max}} = \mu g = 0{,}4\cdot 9{,}8 = 3{,}92\ \text{м/с}^2$$Так как $3{,}2 < 3{,}92$, в первом опыте силы трения достаточно, поэтому шайба не скользит.
Для второго опыта требуемое центростремительное ускорение равно:
$$a_{ц2} = \omega_2^2r = 1{,}5^2\cdot 0{,}8 = 1{,}8\ \text{м/с}^2$$Так как $1{,}8 < 3{,}92$, во втором опыте силы трения также достаточно, поэтому шайба не скользит.
Раскручивание называют плавным, поэтому дополнительное тангенциальное ускорение не учитывается; предельным является условие обеспечения центростремительного ускорения.
В обоих опытах шайба не начнёт скользить по диску: при $\omega_1=2\ \text{рад/с}$ требуется ускорение $3{,}2\ \text{м/с}^2$, а при $\omega_2=1{,}5\ \text{рад/с}$ — $1{,}8\ \text{м/с}^2$; оба значения меньше предельного $\mu g=3{,}92\ \text{м/с}^2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют радиус диска $1\ \text{м}$ вместо расстояния шайбы от центра $0{,}8\ \text{м}$.
Сравнивают угловые скорости напрямую с коэффициентом трения.
Забывают, что центростремительную силу при движении шайбы по диску создаёт сила трения.
Не учитывают, что при плавном раскручивании тангенциальное ускорение считается пренебрежимо малым.