Решение: Минимальная масса подвесного груза
Грузы массами $M = 1\ \text{кг}$ и $m$ связаны лёгкой нерастяжимой нитью, переброшенной через невесомый блок, вращающийся без трения. Груз массой $M$ покоится на шероховатой наклонной плоскости. Угол наклона плоскости к горизонту $\alpha = 30^\circ$, коэффициент трения $\mu = 0{,}3$. Чему равно минимальное значение массы $m$, при котором система грузов остаётся в состоянии покоя? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на грузы.
Решение по шагам
6 шаговНа подвесной груз действует сила тяжести $mg$ и сила натяжения нити $T$. Так как груз покоится, $T = mg$.
$$T - mg = 0$$Для груза $M$ выберем оси вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно ей. Нормальная реакция опоры равна составляющей силы тяжести, перпендикулярной плоскости.
$$N = Mg\cos\alpha$$Минимальная масса $m$ соответствует предельному равновесию, при котором груз $M$ стремится скользить вниз по наклонной плоскости. Поэтому сила трения направлена вверх и достигает максимального значения.
$$F_{\text{тр,max}} = \mu N = \mu Mg\cos\alpha$$Условие равновесия груза $M$ вдоль наклонной плоскости:
$$T + F_{\text{тр,max}} = Mg\sin\alpha$$Подставим $T = mg$ и выразим массу подвесного груза:
$$m = M(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$$Вычислим значение при $M = 1\ \text{кг}$, $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}3$:
$$m = 1\left(\sin 30^\circ - 0{,}3\cos 30^\circ\right) \approx 0{,}5 - 0{,}3\cdot 0{,}866 \approx 0{,}24\ \text{кг}$$Минимальная масса подвесного груза: $m_{\min} \approx 0{,}24\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Направляют силу трения вниз по наклонной плоскости вместо направления вверх при минимальной массе $m$.
Используют $N = Mg$ вместо $N = Mg\cos\alpha$.
Приравнивают силу трения к $\mu Mg$ вместо максимальной силы $\mu Mg\cos\alpha$.
Не учитывают, что для подвесного груза в состоянии покоя $T = mg$.