Решение: Равновесие стержня с блоком
Невесомый стержень $AB$ с двумя малыми грузиками массами $m_1 = 200\ \text{г}$ и $m_2 = 100\ \text{г}$, расположенными в точках $C$ и $B$ соответственно, шарнирно закреплён в точке $A$. Груз массой $M = 100\ \text{г}$ подвешен к невесомому блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня. Вся система находится в равновесии. Стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 30^\circ$, нить составляет с вертикалью угол $\beta = 30^\circ$, расстояние $AC = b = 25\ \text{см}$. Определите длину стержня $AB$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень.
Решение по шагам
6 шаговНа груз $M$ действуют сила тяжести $Mg$ вниз и сила натяжения нити $T$ вверх. Так как груз покоится,
$$T = Mg$$На стержень действуют силы тяжести грузиков $m_1g$ и $m_2g$, сила натяжения $T$ в точке $B$ и реакция шарнира в точке $A$. Момент реакции шарнира относительно точки $A$ равен нулю.
Плечо силы тяжести грузика $m_1$ равно $b\sin\alpha$, а грузика $m_2$ — $l\sin\alpha$. Момент силы натяжения равен $Tl\sin(\alpha+\beta)$.
$$Tl\sin(\alpha+\beta) = m_1g b\sin\alpha + m_2g l\sin\alpha$$Подставим $T = Mg$ и выразим длину стержня:
$$l = \frac{m_1 b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha}$$Подставим значения в единицах СИ:
$$l = \frac{0{,}2\cdot0{,}25\cdot\sin30^\circ}{0{,}1\cdot\sin60^\circ-0{,}1\cdot\sin30^\circ} \approx 0{,}683\ \text{м}$$На рисунке сил для груза $M$ нужно показать силу тяжести $Mg$ вниз и силу натяжения $T$ вверх. Для стержня нужно показать силы тяжести $m_1g$ и $m_2g$ вниз, натяжение $T$ вдоль нити в точке $B$ и реакцию шарнира в точке $A$.
Длина стержня $AB \approx 0{,}68\ \text{м} \approx 68\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают момент силы тяжести груза $m_2$, приложенной в точке $B$.
Берут плечо силы натяжения как $l\sin\beta$ вместо $l\sin(\alpha+\beta)$.
Забывают, что для невесомого блока и равновесного груза натяжение нити равно $Mg$.
Включают реакцию шарнира в уравнение моментов относительно точки $A$.