Решение: Жёсткость пружины в системе грузов
Брусок массой $M = 600\ \text{г}$ соединён невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой $m = 200\ \text{г}$. К этому грузу на лёгкой пружине подвешен второй такой же груз. Длина нерастянутой пружины $l = 12\ \text{см}$, коэффициент трения бруска о поверхность стола $\mu = 0{,}2$. Определите жёсткость $k$ пружины, если при движении грузов длина пружины постоянна и равна $L = 14\ \text{см}$. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на брусок и грузы. Трением в оси блока и трением о воздух пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи. При расчётах принять $g = 10\ \text{м/с}^2$.
Решение по шагам
8 шаговТак как нить нерастяжима, ускорение бруска по модулю равно ускорению верхнего груза. Длина пружины постоянна, поэтому верхний и нижний грузы также имеют одинаковое ускорение $a$.
Рассмотрим систему, состоящую из бруска и двух грузов. Внешние силы, направленные вдоль движения: сила тяжести двух грузов $2mg$ и сила трения скольжения $F_\text{тр} = \mu Mg$, направленная противоположно движению.
По второму закону Ньютона для всей системы: $2mg - \mu Mg = (M + 2m)a$.
Подставим значения масс: $a = \dfrac{2 \cdot 0{,}2 \cdot 10 - 0{,}2 \cdot 0{,}6 \cdot 10}{0{,}6 + 2 \cdot 0{,}2} = 2{,}8\ \text{м/с}^2$.
Удлинение пружины равно разности её длины в процессе движения и длины в нерастянутом состоянии: $\Delta l = L-l = 14\ \text{см} - 12\ \text{см} = 2\ \text{см} = 0{,}02\ \text{м}$.
Для нижнего груза направим ось вертикально вниз. На него действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, и сила упругости пружины $k\Delta l$, направленная вверх. По второму закону Ньютона: $mg - k\Delta l = ma$.
Отсюда $k = \dfrac{m(g-a)}{\Delta l} = \dfrac{0{,}2(10-2{,}8)}{0{,}02} = 72\ \text{Н/м}$.
На рисунке следует показать: для бруска силы тяжести $Mg$, реакции опоры $N$, натяжение нити $T$ и силу трения $F_\text{тр}$; для верхнего груза силы тяжести $mg$, натяжение нити $T$ и силу упругости пружины; для нижнего груза силу тяжести $mg$ и силу упругости пружины. Законы Ньютона применимы, поскольку рассматривается движение в инерциальной системе отсчёта, а нить, блок и пружина считаются идеальными согласно условию.
Жёсткость пружины $k = 72\ \text{Н/м}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать силу трения бруска при составлении уравнения для всей системы.
Считать силы упругости, действующие на верхний и нижний грузы, направленными одинаково.
Использовать длину пружины $L$ вместо её удлинения $\Delta l = L-l$.
Забыть, что при постоянной длине пружины ускорения обоих грузов одинаковы.