Решение: Равновесие стержня и доски
Однородный тонкий стержень массой $m$ одним концом шарнирно прикреплён к потолку, а другим концом опирается на массивную горизонтальную доску, образуя с ней угол $\alpha = 30^\circ$. Под действием горизонтальной силы $\vec F$ доска движется поступательно влево с постоянной скоростью. Стержень при этом неподвижен. Найдите $m$, если $F = 2\ \text{Н}$, а коэффициент трения стержня по доске $\mu = 0{,}2$. Трением доски по опоре и трением в шарнире пренебречь.
Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень и доску. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговРассмотрим доску. Она движется поступательно с постоянной скоростью, поэтому её ускорение равно нулю и сумма горизонтальных сил равна нулю. Сила $F$ направлена влево, а сила трения со стороны стержня на доску — вправо.
$$F - f = 0$$Следовательно, сила трения между доской и стержнем равна по модулю силе $F$:
$$f = F = 2\ \text{Н}$$На стержень со стороны доски действуют нормальная реакция $N$, направленная вверх, и сила трения $f$, направленная влево: доска скользит влево относительно неподвижного стержня. Так как стержень неподвижен, он находится в равновесии.
Запишем правило моментов относительно шарнира. Вес стержня приложен к его середине и создаёт момент, поворачивающий стержень по часовой стрелке. Силы $N$ и $f$ создают моменты противоположного направления.
$$\frac{mgL}{2}\cos\alpha = NL\cos\alpha + fL\sin\alpha$$Сократим длину стержня $L$ и выразим массу:
$$m = \frac{2}{g}\left(N + f\tan\alpha\right)$$При скольжении сила трения достигает значения $f = \mu N$, поэтому нормальная реакция равна:
$$N = \frac{f}{\mu} = \frac{2}{0{,}2} = 10\ \text{Н}$$Подставим $N = 10\ \text{Н}$, $f = 2\ \text{Н}$, $\alpha = 30^\circ$ и $g = 10\ \text{м/с}^2$:
$$m = \frac{2}{10}\left(10 + 2\tan 30^\circ\right) \approx 2{,}23\ \text{кг}$$Законы Ньютона и правило моментов применимы, поскольку доска движется равномерно, а стержень неподвижен в инерциальной системе отсчёта. Следовательно, ускорения тел равны нулю, а суммы сил и моментов сил равны нулю.
m \approx 2{,}23\ \text{кг}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно выбирают направление силы трения на стержне.
Забывают, что сила тяжести однородного стержня приложена к его середине.
Берут плечо силы тяжести равным $L\cos\alpha$ вместо $\dfrac{L}{2}\cos\alpha$.
Не используют равномерность движения доски и не устанавливают равенство $f = F$.