Решение: Равновесие бруска и блока
Однородный брусок $AB$ массой $M$ постоянного прямоугольного сечения лежит на гладкой горизонтальной поверхности стола, свешиваясь с него менее чем наполовину. К правому концу бруска прикреплена невесомая нерастяжимая нить. Другой конец нити закреплён на меньшем из двух дисков невесомого составного блока. На большем диске этого блока закреплена другая невесомая нерастяжимая нить, на которой висит груз массой $m$. Диски скреплены друг с другом и образуют единое целое. Радиусы дисков: $R=10\ \text{см}$ и $r=7\ \text{см}$. Найдите максимальное значение дроби $\dfrac{m}{M}$, при котором система тел остаётся неподвижной. Трением в оси блока пренебречь. Сделайте рисунок, на котором укажите все силы, действующие на брусок, груз и блок. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
7 шаговРассмотрим груз. Он покоится, поэтому сила натяжения второй нити равна его весу:
$$T_2=mg$$Составной блок покоится. Момент силы натяжения нити, намотанной на больший диск, уравновешивается моментом силы натяжения нити, прикреплённой к меньшему диску:
$$T_1r=T_2R$$С учётом $T_2=mg$ натяжение нити, действующей на брусок, равно:
$$T_1=mg\frac{R}{r}$$Для бруска запишем условие предельного равновесия. Так как брусок свешивается менее чем наполовину, его центр тяжести находится со стороны стола относительно возможной оси опрокидывания. Максимальное натяжение нити, при котором сохраняется равновесие бруска, равно его весу:
$$T_1\leq Mg$$Подставляя выражение для $T_1$, получаем:
$$mg\frac{R}{r}\leq Mg$$После сокращения на $g$ и деления на $M\dfrac{R}{r}$ находим максимальное значение отношения масс:
$$\frac{m}{M}\leq\frac{r}{R}=\frac{7}{10}=0{,}7$$Использованы условия равновесия тела и составного блока: равенство нулю суммы сил и моментов сил. Нити невесомы и нерастяжимы, поэтому натяжение каждой нити одинаково по всей её длине. Ось блока гладкая, поэтому момент сил трения в оси отсутствует.
\left(\dfrac{m}{M}\right)_{\max}=0{,}7
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Перепутать радиусы дисков в уравнении моментов.
Записать равенство натяжений двух нитей вместо равенства их моментов.
Не указать силы реакции опоры и силы натяжения на свободных телах.
Забыть обосновать применение условия равновесия и отсутствие трения в оси блока.