Решение: Равновесие рычага в воде
К концам невесомого рычага подвесили за невесомые нерастяжимые нити два сплошных груза массами $1{,}28\ \text{кг}$ и $0{,}32\ \text{кг}$ и привели рычаг в состояние равновесия. Затем рычаг с грузами расположили над водой так, что оба груза целиком оказались под водой. В результате для сохранения равновесия точку опоры пришлось переместить на $10\ \text{см}$. Определите первоначальное расстояние от более тяжёлого груза до точки опоры, если объёмы обоих грузов одинаковы и равны $200\ \text{см}^3$. Сделайте рисунок, на котором укажите силы, действующие на рычаг, для двух случаев, а также на погружённые в воду грузы. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим первоначальные расстояния от точки опоры до более тяжёлого и лёгкого грузов через $x$ и $y$. Для невесомого рычага в равновесии применяем закон моментов сил.
$$m_1 g x = m_2 g y$$Подставляя массы грузов, получаем отношение первоначальных плеч:
$$\frac{y}{x}=\frac{1{,}28}{0{,}32}=4$$Выталкивающая сила для каждого полностью погружённого груза соответствует силе тяжести воды объёмом $200\ \text{см}^3=2\cdot10^{-4}\ \text{м}^3$. Её действие эквивалентно уменьшению массы груза на $\rho_{\text{в}}V=1000\cdot2\cdot10^{-4}=0{,}20\ \text{кг}$.
$$F_A=\rho_{\text{в}}gV$$Под водой силы натяжения нитей, действующие на рычаг, равны эффективным весам грузов. Поэтому отношение новых плеч $x'$ и $y'$ равно:
$$\frac{y'}{x'}=\frac{1{,}28-0{,}20}{0{,}32-0{,}20}=\frac{1{,}08}{0{,}12}=9$$Длина рычага постоянна: $x+y=x'+y'$. Из отношений плеч следует $x+y=5x=10x'$. Следовательно, первоначальная точка опоры находилась на расстоянии $L/5$ от тяжёлого груза, а новая — на расстоянии $L/10$.
$$\Delta x=\frac{L}{5}-\frac{L}{10}=\frac{L}{10}$$Точка опоры переместилась на $10\ \text{см}$, поэтому $L/10=10\ \text{см}$ и $L=100\ \text{см}$. Первоначальное расстояние до более тяжёлого груза равно:
$$x=\frac{L}{5}=\frac{100}{5}=20\ \text{см}$$Первоначальное расстояние от более тяжёлого груза до точки опоры равно $20\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Использовать в воде исходные силы тяжести вместо сил натяжения нитей, уменьшенных на выталкивающую силу.
Ошибочно считать, что выталкивающая сила зависит от массы груза; при полном погружении она определяется объёмом.
Не учитывать, что длина рычага при перемещении точки опоры остаётся неизменной.
Перепутать направление перемещения точки опоры: под водой она смещается к более тяжёлому грузу.