Решение: Равновесие палочки в жидкости
В гладкий высокий стакан радиусом $4\ \text{см}$ поставили тонкую однородную палочку длиной $10\ \text{см}$ и массой $1{,}8\ \text{г}$. До какой высоты $h$ надо налить в стакан жидкость, плотность которой составляет $0{,}75$ плотности материала палочки, чтобы модуль силы, с которой верхний конец палочки давит на стенку стакана, равнялся $0{,}008\ \text{Н}$? Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на палочку.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
6 шаговНа палочку действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз и приложенная в её середине, сила Архимеда $F_A$, направленная вверх, реакция гладкого дна и горизонтальная реакция гладкой стенки $N$. Так как дно и стенка гладкие, силы трения отсутствуют.
Из геометрии: горизонтальная проекция палочки равна радиусу стакана $R=0{,}04\ \text{м}$. Поэтому для угла наклона палочки к горизонту выполняется $\cos\alpha=R/l$, а $\sin\alpha=\sqrt{l^2-R^2}/l$.
Составим условие равновесия моментов относительно нижнего конца палочки. Реакция дна момента не создаёт. Получаем $N l\sin\alpha+F_A\dfrac{s}{2}\cos\alpha=mg\dfrac{l}{2}\cos\alpha$, где $s$ — длина погружённой части палочки.
Сила Архимеда направлена вверх и создаёт момент, противоположный моменту силы тяжести. Поэтому при любом погружении $F_A\geq 0$ сила давления на стенку не может быть больше значения, соответствующего отсутствию жидкости: $N\leq\dfrac{mg\cos\alpha}{2\sin\alpha}$.
Вычислим это максимальное значение. При $m=0{,}0018\ \text{кг}$, $g\approx10\ \text{м/с}^2$, $l=0{,}10\ \text{м}$ и $R=0{,}04\ \text{м}$ имеем $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{0{,}10^2-0{,}04^2}}{0{,}10}\approx0{,}916$, $\cos\alpha=0{,}4$. Тогда $N_{\max}=\dfrac{0{,}0018\cdot10\cdot0{,}4}{2\cdot0{,}916}\approx0{,}0039\ \text{Н}$.
Требуемая сила $0{,}008\ \text{Н}$ больше максимально возможной: $0{,}008\ \text{Н}>0{,}0039\ \text{Н}$. При наливании жидкости сила Архимеда только уменьшает возможную силу давления на стенку. Следовательно, указанного значения достичь нельзя.
Такой высоты жидкости не существует: при данных параметрах максимальная сила давления палочки на стенку составляет примерно $0{,}0039\ \text{Н}$, что меньше $0{,}008\ \text{Н}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать, что сила Архимеда увеличивает момент силы тяжести.
Не учитывать, что реакция гладкой стенки горизонтальна.
Записывать момент силы тяжести через длину палочки вместо горизонтального плеча.
Искать высоту жидкости, не проверив физическую возможность заданной силы.