Решение: Равновесие стержня с блоком
Невесомый стержень $AB$ с двумя малыми грузиками массами $m_1 = 100\ \text{г}$ и $m_2 = 200\ \text{г}$, расположенными в точках $C$ и $B$ соответственно, шарнирно закреплён в точке $A$. Груз массой $M = 200\ \text{г}$ подвешен к идеальному блоку за невесомую и нерастяжимую нить, другой конец которой соединён с нижним концом стержня, как показано на рисунке. Вся система находится в равновесии, если стержень отклонён от вертикали на угол $\alpha = 45^\circ$, а нить составляет угол с вертикалью, равный $\beta = 15^\circ$. Расстояние $AC = b = 25\ \text{см}$. Определите длину $l$ стержня $AB$, пренебрегая трением в шарнире. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на груз $M$ и стержень. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговРассмотрим груз массой $M$. На него действуют сила тяжести $Mg$ и сила натяжения нити $T$. Так как груз покоится, по второму закону Ньютона для равновесия:
$$T-Mg=0,\qquad T=Mg$$Блок идеальный, поэтому натяжение нити на обоих участках одинаково. Следовательно, сила, действующая на конец стержня со стороны нити, равна $T=Mg$ и направлена вдоль нити.
Рассмотрим стержень. На него действуют силы тяжести грузиков $m_1g$ и $m_2g$, сила натяжения нити $T$, а также реакция шарнира в точке $A$. Составим правило моментов относительно точки $A$: момент реакции шарнира равен нулю.
Плечо силы тяжести каждого грузика относительно точки $A$ равно горизонтальной координате точки приложения силы: для груза $m_1$ это $b\sin\alpha$, а для груза $m_2$ — $l\sin\alpha$. Момент силы натяжения равен $Tl\sin(\alpha+\beta)$, поскольку угол между стержнем и нитью равен $180^\circ-(\alpha+\beta)$, а синус этого угла равен $\sin(\alpha+\beta)$.
$$Tl\sin(\alpha+\beta)=m_1gb\sin\alpha+m_2gl\sin\alpha$$Подставим $T=Mg$ и сократим $g$:
$$Ml\sin(\alpha+\beta)=m_1b\sin\alpha+m_2l\sin\alpha$$Выразим длину стержня:
$$l=\frac{m_1b\sin\alpha}{M\sin(\alpha+\beta)-m_2\sin\alpha}$$Подставим значения в СИ: $m_1=0{,}10\ \text{кг}$, $m_2=M=0{,}20\ \text{кг}$, $b=0{,}25\ \text{м}$, $\alpha=45^\circ$, $\beta=15^\circ$.
$$l=\frac{0{,}10\cdot0{,}25\cdot\sin45^\circ}{0{,}20\cdot\sin60^\circ-0{,}20\cdot\sin45^\circ}\approx0{,}56\ \text{м}$$Законы Ньютона и правило моментов применимы, поскольку система находится в состоянии покоя в инерциальной системе отсчёта. Стержень и нить считаются невесомыми, блок — идеальным, трение в шарнире отсутствует, поэтому сила натяжения нити одинакова по всей её длине.
Длина стержня $AB$ приблизительно равна $0{,}56\ \text{м}$, или $56\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать момент силы тяжести грузика $m_2$, расположенного в точке $B$.
Использовать для силы натяжения неверное выражение вместо $T=Mg$.
Взять плечо силы тяжести равным длине стержня, а не горизонтальной проекции.
Неверно определить угол между стержнем и нитью при вычислении момента силы натяжения.
Составлять моменты относительно точки, отличной от шарнира, и отдельно учитывать реакцию шарнира.