Решение: Груз на вращающемся диске
Имеется недеформированная пружина длиной $L = 20\ \text{см}$ и жёсткостью $k = 30\ \text{Н/м}$, груз массой $m = 0{,}2\ \text{кг}$, а также вращающийся с частотой $\nu = 1\ \text{Гц}$ массивный диск. На каком максимальном расстоянии от центра диска можно положить на него груз, прикрепив его пружиной к центру диска, чтобы груз оставался неподвижным относительно диска? Коэффициент трения между грузом и диском $\mu = 0{,}3$. Размерами груза пренебречь. Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на груз.
Решение по шагам
6 шаговРассмотрим груз в инерциальной системе отсчёта. На него действуют сила тяжести $mg$ вниз, реакция опоры $N$ вверх, сила упругости пружины вдоль радиуса к центру и сила трения в плоскости диска. Для движения по окружности необходима равнодействующая сил, направленная к центру.
$$N = mg$$Угловая скорость диска равна
$$\omega = 2\pi\nu = 2\pi\ \text{рад/с}$$При максимальном расстоянии $r$ пружина растянута, поэтому её сила направлена к центру и равна $k(r-L)$. На пределе устойчивости сила трения имеет максимальное значение $f_{\max} = \mu N = \mu mg$ и направлена от центра.
$$k(r-L) - \mu mg = m\omega^2r$$Подставим числовые значения: $L = 0{,}20\ \text{м}$, $m = 0{,}2\ \text{кг}$, $k = 30\ \text{Н/м}$, $\mu = 0{,}3$, $g \approx 10\ \text{м/с}^2$.
$$30(r-0{,}20)-0{,}3\cdot0{,}2\cdot10=0{,}2\cdot(2\pi)^2r$$Решая уравнение относительно $r$, получаем
$$r = \frac{30\cdot0{,}20+0{,}3\cdot0{,}2\cdot10}{30-0{,}2(2\pi)^2} \approx 0{,}299\ \text{м}$$На схематическом рисунке следует показать силу тяжести $mg$ и реакцию опоры $N$ по вертикали, силу упругости $F_\text{упр}$ к центру диска и силу трения $f$ от центра диска.
Максимальное расстояние от центра диска: $r_{\max} \approx 0{,}30\ \text{м}$, или примерно $30\ \text{см}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Направляют силу трения к центру при максимальном радиусе, хотя на пределе пружина создаёт избыточную силу, и трение направлено от центра.
Используют силу трения меньше предельной вместо условия $f = \mu mg$.
Забывают перевести длину пружины из сантиметров в метры.
Приравнивают силу пружины непосредственно к центростремительной силе и не учитывают трение.