Решение: Натяжение нити при вращении
На вертикальной оси укреплена гладкая горизонтальная штанга, по которой могут перемещаться два груза массами $m_1 = 200\ \text{г}$ и $m_2 = 300\ \text{г}$, связанные нерастяжимой невесомой нитью длиной $l = 20\ \text{см}$. Нить закрепили на оси так, что грузы располагаются по разные стороны от оси и натяжение нити с обеих сторон от оси при вращении штанги одинаково. Определите модуль силы натяжения $T$ нити, соединяющей грузы, при вращении штанги с частотой $600\ \text{об/мин}$.
Решение по шагам
7 шаговПереведём величины в единицы СИ: $m_1 = 0{,}2\ \text{кг}$, $m_2 = 0{,}3\ \text{кг}$, $l = 0{,}2\ \text{м}$. Частота вращения равна $\nu = 600/60 = 10\ \text{Гц}$.
Оба груза движутся по окружностям с одной и той же угловой скоростью. Для каждого груза сила натяжения нити является центростремительной силой:
$$T = m_1\omega^2r_1,\qquad T = m_2\omega^2r_2$$Так как натяжение нити одинаково, радиусы вращения связаны соотношением:
$$m_1r_1 = m_2r_2$$Расстояния от оси до грузов в сумме равны длине нити:
$$r_1+r_2=l$$Решая систему уравнений $m_1r_1=m_2r_2$ и $r_1+r_2=l$, получаем:
$$r_1=\frac{m_2l}{m_1+m_2}=\frac{0{,}3\cdot0{,}2}{0{,}2+0{,}3}=0{,}12\ \text{м}$$Угловая скорость вращения равна:
$$\omega=2\pi\nu=20\pi\ \text{рад/с}$$Вычислим силу натяжения нити по формуле для первого груза:
$$T=m_1\omega^2r_1=0{,}2\cdot(20\pi)^2\cdot0{,}12=9{,}6\pi^2\approx94{,}7\ \text{Н}$$Модуль силы натяжения нити: $T \approx 95\ \text{Н}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют частоту $600$ вместо переведённой в герцы частоты $10\ \text{Гц}$.
Считают, что расстояния грузов от оси равны, хотя массы грузов различны.
Забывают, что $r_1+r_2=l$, поскольку грузы находятся по разные стороны от оси.
Используют линейную скорость вместо угловой без соответствующего преобразования.