Решение: Масса снаряда при отдаче
Пушка, закреплённая на высоте $5\ \text{м}$, стреляет снарядами в горизонтальном направлении. Вследствие отдачи её ствол, имеющий массу $1000\ \text{кг}$, сжимает на $1\ \text{м}$ пружину жёсткостью $6 \cdot 10^3\ \text{Н/м}$, производящую перезарядку пушки. При этом только $h = \dfrac{1}{6}$ часть всей кинетической энергии ствола пушки идёт на сжатие пружины. Какова масса снаряда, если дальность его полёта равна $600\ \text{м}$? Сопротивлением воздуха при полёте снаряда, силой трения в момент вылета снаряда и массой пороховых газов пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
9 шаговРассмотрим движение снаряда после вылета. По вертикали снаряд совершает свободное падение с высоты $H = 5\ \text{м}$. Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому применим закон равноускоренного движения.
$$H = \frac{gt^2}{2}$$Принимая $g = 10\ \text{м/с}^2$, найдём время полёта:
$$t = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{10}} = 1\ \text{с}$$По горизонтали движение равномерное, так как сопротивлением воздуха пренебрегаем. Поэтому горизонтальная скорость снаряда равна:
$$v = \frac{L}{t} = \frac{600}{1} = 600\ \text{м/с}$$При выстреле выполняется закон сохранения импульса системы «снаряд — ствол», поскольку внешним импульсом за малое время выстрела можно пренебречь. Если $M$ — масса ствола, а $V$ — скорость его отдачи, то:
$$mv = MV$$Только доля $h = \dfrac{1}{6}$ кинетической энергии ствола превращается в энергию сжатой пружины. Поэтому:
$$h \cdot \frac{MV^2}{2} = \frac{kx^2}{2}$$Найдём кинетическую энергию ствола и его скорость отдачи:
$$\frac{MV^2}{2} = \frac{kx^2}{2h} = \frac{6 \cdot 10^3 \cdot 1^2}{2 \cdot \frac{1}{6}} = 18000\ \text{Дж}$$Следовательно, скорость ствола после выстрела равна:
$$V = \sqrt{\frac{2 \cdot 18000}{1000}} = 6\ \text{м/с}$$Из закона сохранения импульса найдём массу снаряда:
$$m = \frac{MV}{v} = \frac{1000 \cdot 6}{600} = 10\ \text{кг}$$Закон сохранения механической энергии применён к сжатию пружины, а закон сохранения импульса — к кратковременному процессу выстрела, когда внешним импульсом можно пренебречь.
Масса снаряда равна $10\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что в энергию пружины переходит только доля $h = \dfrac{1}{6}$ кинетической энергии ствола.
Используют дальность полёта без предварительного определения времени падения снаряда.
Нарушают закон сохранения импульса, складывая скорости вместо импульсов.
Приравнивают всю кинетическую энергию ствола к энергии пружины.