Решение: Движение бруска и груза
На горизонтальном столе находится брусок массой $M = 1\ \text{кг}$, соединённый невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с грузом массой $m = 500\ \text{г}$. На брусок действует сила $\vec{F}$, направленная под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, $F = 9\ \text{Н}$. В момент начала движения груз находился на расстоянии $L = 32\ \text{см}$ от края стола. Какую скорость $V$ будет иметь груз в тот момент, когда он поднимется до края стола, если коэффициент трения между бруском и столом $\mu = 0{,}3$? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на брусок и груз. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговРассмотрим движение бруска вправо, а груза вверх. Такое направление действительно является возможным, поскольку горизонтальная составляющая силы $F$ направлена вправо.
$$F_x = F\cos\alpha = 9\cos 30^\circ$$На брусок действуют сила тяжести $Mg$, нормальная реакция опоры $N$, сила $\vec F$, сила натяжения нити $T$ и сила трения $f$. В вертикальном направлении ускорения нет.
$$N + F\sin\alpha - Mg = 0,\qquad N = Mg - F\sin\alpha$$Сила трения направлена влево и равна произведению коэффициента трения на нормальную реакцию опоры.
$$f = \mu N = \mu\left(Mg - F\sin\alpha\right)$$Запишем второй закон Ньютона для бруска в горизонтальном направлении и для груза в вертикальном направлении. Ускорения тел имеют одинаковые значения по модулю, так как нить нерастяжима.
$$F\cos\alpha - T - \mu\left(Mg - F\sin\alpha\right) = Ma;\qquad T - mg = ma$$Сложим уравнения и найдём ускорение системы.
$$a = \frac{F\cos\alpha - \mu\left(Mg - F\sin\alpha\right) - mg}{M+m}$$При $g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$ получаем:
$$a = \frac{9\cos30^\circ - 0{,}3\left(1\cdot9{,}8 - 9\sin30^\circ\right) - 0{,}5\cdot9{,}8}{1+0{,}5} \approx 0{,}86\ \text{м/с}^2$$Груз начинает движение из состояния покоя и проходит путь $L = 0{,}32\ \text{м}$ с постоянным ускорением. Поэтому его скорость у края стола равна:
$$V^2 = 2aL,\qquad V = \sqrt{2\cdot0{,}86\cdot0{,}32} \approx 0{,}74\ \text{м/с}$$Ускорение положительно, поэтому выбранное направление движения согласуется с результатом расчёта. Законы Ньютона применимы, поскольку тела движутся поступательно, нить нерастяжима, блок гладкий, а сила трения скольжения постоянна.
Скорость груза у края стола: $V \approx 0{,}74\ \text{м/с}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Направляют силу трения не противоположно движению бруска.
Используют $N = Mg$, не учитывая вертикальную составляющую силы $F$.
Считают, что ускорения бруска и груза различны, хотя нить нерастяжима.
Не проверяют направление движения по знаку найденного ускорения.
Используют расстояние $L = 32\ \text{м}$ вместо $0{,}32\ \text{м}$.