Решение: Масса ствола пушки
Пушка, закреплённая на высоте $5\ \text{м}$, стреляет в горизонтальном направлении снарядами массой $10\ \text{кг}$. Вследствие отдачи её ствол сжимает на $1\ \text{м}$ пружину жёсткостью $6 \cdot 10^3\ \text{Н/м}$, производящую перезарядку пушки. При этом на сжатие пружины идёт относительная доля $\eta = \dfrac{1}{6}$ энергии отдачи. Какова масса ствола, если дальность полёта снаряда равна $600\ \text{м}$? Сопротивлением воздуха при полёте снаряда пренебречь.
Решение по шагам
6 шаговНайдём время полёта снаряда по вертикальному движению. Начальная вертикальная скорость равна нулю.
$$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 5}{10}} = 1\ \text{с}$$Из дальности горизонтального полёта найдём скорость снаряда.
$$v = \frac{L}{t} = \frac{600}{1} = 600\ \text{м/с}$$Кинетическая энергия сжатой пружины составляет долю $\eta$ энергии отдачи.
$$E_\text{пруж} = \frac{kx^2}{2} = \frac{6 \cdot 10^3 \cdot 1^2}{2} = 3000\ \text{Дж}$$Определим полную энергию отдачи.
$$E_\text{отд} = \frac{E_\text{пруж}}{\eta} = \frac{3000}{1/6} = 18000\ \text{Дж}$$По закону сохранения импульса при выстреле импульс снаряда по модулю равен импульсу ствола: $mv = Mu$. Поэтому энергия отдачи ствола выражается через массу ствола.
$$E_\text{отд} = \frac{Mu^2}{2} = \frac{m^2v^2}{2M}$$Подставим известные значения и найдём массу ствола.
$$M = \frac{m^2v^2}{2E_\text{отд}} = \frac{10^2 \cdot 600^2}{2 \cdot 18000} = 1000\ \text{кг}$$Масса ствола равна $1000\ \text{кг}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют энергию пружины как полную энергию отдачи, не учитывая множитель $\eta$.
Неверно находят скорость снаряда, используя высоту как горизонтальное перемещение.
Забывают, что энергия отдачи — это кинетическая энергия ствола, а не энергия снаряда.