Решение: Удар шарика о наклонную доску
Шарик падает с высоты $H = 2\ \text{м}$ над поверхностью Земли из состояния покоя. На высоте $h = 1\ \text{м}$ он абсолютно упруго ударяется о доску, расположенную под углом $\alpha$ к горизонту (см. рисунок). После этого удара шарик поднялся на максимальную высоту $h_1 = 1{,}25\ \text{м}$ от поверхности Земли. Какой угол $\alpha$ составляет доска с горизонтом? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение по шагам
5 шаговНайдём скорость шарика непосредственно перед ударом. При падении с высоты $H$ до высоты $h$ потенциальная энергия переходит в кинетическую:
$$mg(H-h)=\frac{mv^2}{2},\qquad v^2=2g(H-h)$$После удара шарик поднимается от высоты $h$ до высоты $h_1$. Его вертикальная составляющая скорости сразу после удара равна:
$$mg(h_1-h)=\frac{mv_y^2}{2},\qquad v_y^2=2g(h_1-h)$$При абсолютно упругом отражении от неподвижной доски скорость по модулю сохраняется. Для вертикальной составляющей после отражения получаем:
$$v_y=v\cos 2\alpha$$С учётом выражений для $v$ и $v_y$:
$$\cos^2 2\alpha=\frac{v_y^2}{v^2}=\frac{h_1-h}{H-h}=\frac{1{,}25-1}{2-1}=0{,}25$$Для острого угла наклона доски выбираем положительное значение косинуса:
$$\cos 2\alpha=0{,}5,\qquad 2\alpha=60^\circ,\qquad \alpha=30^\circ$$$\alpha = 30^\circ$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют высоту $H$ вместо разности высот $H-h$ при вычислении скорости перед ударом.
Используют высоту $h_1$ вместо разности высот $h_1-h$ при вычислении вертикальной составляющей скорости после удара.
Считают, что при отражении сохраняется вертикальная составляющая скорости, хотя сохраняется полный модуль скорости.
Не учитывают удвоение угла при отражении от наклонной доски.