Решение: Движение шара с пулей
В маленький шар массой $M = 230\ \text{г}$, висящий на нити длиной $l = 50\ \text{см}$, попадает и застревает в нём горизонтально летящая пуля. Минимальная скорость пули $v_0$, при которой шар после этого совершит полный оборот в вертикальной плоскости, равна $120\ \text{м/с}$. Чему равна масса пули? Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.
Решение по шагам
7 шаговВо время кратковременного удара пули о шар внешним импульсом сил в горизонтальном направлении можно пренебречь: сила натяжения нити направлена вертикально, а изменение импульса тяжести за время удара мало. Поэтому для столкновения применим закон сохранения импульса.
$$m v_0 = (M + m)u$$После столкновения пуля и шар движутся как единое тело массой $M + m$. Для минимального полного оборота нить в верхней точке должна быть натянута в предельном случае, то есть сила натяжения равна нулю.
$$\frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{l} = (M+m)g$$Из условия движения по окружности находим минимальную скорость в верхней точке.
$$v_{\text{в}}^2 = gl$$Применяем закон сохранения механической энергии при движении от нижней точки к верхней. Потенциальная энергия увеличивается на $(M+m)g(2l)$.
$$\frac{(M+m)u^2}{2} = \frac{(M+m)v_{\text{в}}^2}{2} + (M+m)g(2l)$$Подставляя $v_{\text{в}}^2 = gl$, получаем необходимую скорость объединённого тела сразу после удара.
$$u^2 = gl + 4gl = 5gl;\quad u = \sqrt{5gl} = \sqrt{5 \cdot 10 \cdot 0{,}5} = 5\ \text{м/с}$$Из закона сохранения импульса выразим массу пули. Массу шара переведём в единицы СИ: $M = 230\ \text{г} = 0{,}230\ \text{кг}$.
$$m v_0 = (M+m)u;\quad m(v_0-u)=Mu;\quad m=\frac{Mu}{v_0-u}$$Подставляем числовые значения.
$$m=\frac{0{,}230\cdot 5}{120-5}=0{,}010\ \text{кг}=10\ \text{г}$$Масса пули равна $10\ \text{г}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать, что пуля застревает в шаре, и применять закон сохранения механической энергии непосредственно во время удара.
Использовать условие $v_{\text{в}} = 0$ для полного оборота, хотя нить должна оставаться натянутой.
Забыть, что перепад высот между нижней и верхней точками равен $2l$.
Не перевести массу шара из граммов в килограммы.