Решение: Отрыв тела от полусферы
Небольшое тело массой $M = 0{,}99\ \text{кг}$ лежит на вершине гладкой полусферы радиусом $R = 1\ \text{м}$. В тело попадает пуля массой $m = 0{,}01\ \text{кг}$, летящая горизонтально со скоростью $v_0 = 200\ \text{м/с}$, и застревает в нём. Пренебрегая смещением тела за время удара, определите высоту $h$, на которой это тело оторвётся от поверхности полусферы. Высота отсчитывается от основания полусферы. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
8 шаговВо время удара сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы: внешние импульсы сил тяжести и реакции опоры за малое время удара не имеют горизонтальной составляющей. Удар абсолютно неупругий, поэтому механическая энергия во время удара не сохраняется.
$$(M+m)V=mv_0$$Найдём скорость тела с пулей сразу после удара.
$$V=\frac{mv_0}{M+m}=\frac{0{,}01\cdot200}{0{,}99+0{,}01}=2\ \text{м/с}$$После удара тело движется по гладкой поверхности. Поэтому при дальнейшем движении сохраняется механическая энергия: сила реакции работы не совершает, сопротивлением воздуха можно пренебречь.
$$\frac{(M+m)v^2}{2}+ (M+m)gh = \frac{(M+m)V^2}{2}+(M+m)gR$$Пусть $\alpha$ — угол между вертикалью и радиусом, проведённым к телу в момент отрыва. Тогда высота тела над основанием полусферы равна $h=R\cos\alpha$, а закон сохранения энергии имеет вид
$$v^2=V^2+2gR(1-\cos\alpha)$$В момент отрыва сила реакции полусферы обращается в нуль. Из уравнения движения по радиусу получаем условие отрыва.
$$mg\cos\alpha=\frac{mv^2}{R},\qquad v^2=gR\cos\alpha$$Совместим два выражения для скорости и найдём угол отрыва.
$$gR\cos\alpha=V^2+2gR(1-\cos\alpha),\qquad \cos\alpha=\frac{V^2+2gR}{3gR}$$Принимая $g\approx10\ \text{м/с}^2$, получаем
$$\cos\alpha=\frac{2^2+2\cdot10\cdot1}{3\cdot10\cdot1}=0{,}8$$Высота отсчитывается от основания полусферы, поэтому $h=R\cos\alpha$.
$$h=1\cdot0{,}8=0{,}8\ \text{м}$$Тело оторвётся от поверхности на высоте $h=0{,}8\ \text{м}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать удар упругим и применять закон сохранения механической энергии во время удара.
Сохранять полный вектор импульса без учёта импульса реакции опоры; сохраняется только горизонтальная составляющая.
Использовать условие отрыва $v^2=gR$ без множителя $\cos\alpha$.
Отсчитывать высоту от центра сферы, а не от основания полусферы.