Решение: Масса шарика из пружинного ружья
Пружинное ружьё наклонено под углом $\alpha$ к горизонту. Энергия сжатой пружины равна $E$. При выстреле шарик проходит по стволу ружья расстояние $b$, вылетает и падает на расстоянии $L$ от дула ружья в точке $M$, находящейся с ним на одной высоте. Найдите массу шарика $m$. Трением в стволе и сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.
Решение по шагам
6 шаговПосле вылета шарик движется как тело, брошенное под углом $\alpha$ к горизонту. Так как точка падения находится на одной высоте с дулом, дальность полёта определяется формулой
$$L = \frac{v^2\sin 2\alpha}{g}$$Отсюда найдём скорость шарика при вылете из ствола:
$$v^2 = \frac{gL}{\sin 2\alpha}$$При движении шарика внутри ствола его высота увеличивается на $b\sin\alpha$. По закону сохранения механической энергии энергия сжатой пружины равна сумме кинетической энергии шарика при вылете и увеличения его потенциальной энергии:
$$E = \frac{mv^2}{2} + mgb\sin\alpha$$Подставим выражение для скорости вылета:
$$E = \frac{m}{2}\cdot\frac{gL}{\sin 2\alpha} + mgb\sin\alpha$$Вынесем массу за скобки и выразим её:
$$m = \frac{E}{g\left(\frac{L}{2\sin 2\alpha}+b\sin\alpha\right)} = \frac{2E}{g\left(\frac{L}{\sin 2\alpha}+2b\sin\alpha\right)}$$Закон сохранения механической энергии применим, поскольку трением в стволе и сопротивлением воздуха можно пренебречь, а сила тяжести и сила упругости являются консервативными.
$m = \dfrac{2E}{g\left(\dfrac{L}{\sin 2\alpha}+2b\sin\alpha\right)}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывать увеличение потенциальной энергии шарика при движении по наклонному стволу.
Использовать формулу дальности для горизонтального броска.
Считать, что расстояние $L$ является длиной траектории шарика.
Забыть, что шарик поднимается на высоту $b\sin\alpha$.