Первые 300 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 300 км — со скоростью 100 км/ч, а последние 300 км — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения автомобиля на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{300}{60} = 5\text{ ч},\quad t_2 = \dfrac{300}{100} = 3\text{ ч},\quad t_3 = \dfrac{300}{75} = 4\text{ ч}$$
- 2
Определим общий путь и общее время движения.$$S = 300 + 300 + 300 = 900\text{ км},\quad t = 5 + 3 + 4 = 12\text{ ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, поэтому время его движения до момента возвращения лодки равно$$t_{\text{плота}} = \dfrac{51}{3} = 17\ \text{ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути$$t_{\text{лодки}} = 17 - 1 = 16\ \text{ч}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Два велосипедиста одновременно отправляются в 140-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 6 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+6$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{140}{x}$ ч, а время движения первого — $\dfrac{140}{x+6}$ ч. Первый прибыл на 3 часа раньше, поэтому$$\dfrac{140}{x} - \dfrac{140}{x+6} = 3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два автомобиля одновременно отправляются в 900-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 5 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x - 30$ км/ч.
- 2
Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{900}{x}$ ч, а время движения второго — $\dfrac{900}{x-30}$ ч.
Ещё 7 қадам — толық шешімде
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 210 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+4$ км/ч, а против течения — $x-4$ км/ч.
- 2
Время движения теплохода по течению и против течения соответственно равно $\dfrac{210}{x+4}$ и $\dfrac{210}{x-4}$ часов. С учётом стоянки составим уравнение:$$\dfrac{210}{x+4}+9+\dfrac{210}{x-4}=27$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 140 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 10 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 140 + 4 = 144\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$144\ \text{км/ч} = \frac{144}{3{,}6} = 40\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+5$ деталей в час.
- 2
Второй рабочий выполняет заказ за $\dfrac{180}{x}$ часов, а первый — за $\dfrac{180}{x+5}$ часов. Первый тратит на 3 часа меньше:$$\dfrac{180}{x} - \dfrac{180}{x+5} = 3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Первая труба пропускает на 15 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Резервуар объёмом 100 литров первая труба заполняет на 6 минут дольше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту…
- 1
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+15$ литров воды в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{100}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{100}{x+15}$ минут.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Свежие фрукты содержат 84 % воды, а высушенные — 29 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 32 кг высушенных фруктов?
- 1
Определим долю сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 84\% = 16\%$$
- 2
Определим долю сухого вещества в высушенных фруктах:$$100\% - 29\% = 71\%$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Свежие фрукты содержат 82 % воды, а высушенные — 29 %. Сколько сухих фруктов получится из 284 кг свежих фруктов?
- 1
Вычислим массу сухого вещества в свежих фруктах. Его доля составляет $100\% - 82\% = 18\%$.$$284 \cdot 0{,}18 = 51{,}12\ \text{кг}$$
- 2
В высушенных фруктах сухое вещество составляет $100\% - 29\% = 71\%$ массы.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 24 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?
- 1
Определим долю сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 86\% = 14\%$$
- 2
Определим массу сухого вещества в 42 кг высушенных фруктов:$$42 \cdot 0{,}76 = 31{,}92\ \text{кг}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+10$ деталей в час.$$x>0$$
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{60}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{60}{x+10}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 3 часа меньше.$$\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+10}=3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 151 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 5 км/ч навстречу поезду, за 15 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей.$$v_{\text{сбл}} = 151 + 5 = 156\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём скорость сближения в метры в секунду.$$v_{\text{сбл}} = \dfrac{156}{3{,}6} = \dfrac{130}{3}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Имеются два сосуда, содержащие 12 кг и 8 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 65% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании равных масс растворов концентрация полученной смеси равна среднему арифметическому концентраций этих растворов:$$\frac{x+y}{2}=0{,}60$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 40% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Обозначим через $x$ кг массу кислоты в первом растворе, а через $y$ кг — массу кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании растворов полностью масса полученной кислоты составляет $40\%$ от общей массы растворов:$$x+y=0{,}4(30+42)=28{,}8$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Имеются два сосуда, содержащие 24 кг и 26 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов…
- 1
Пусть $x$ кг кислоты содержится в первом растворе, а $y$ кг — во втором. Масса обоих растворов равна $24+26=50$ кг.
- 2
В общей смеси масса кислоты составляет $39\%$ от общей массы раствора:$$x+y=0{,}39\cdot 50=19{,}5$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Расстояние между пристанями А и В равно 90 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Плот движется со скоростью течения реки, равной 4 км/ч. По условию он проплыл 52 км, поэтому время от отправления плота до возвращения лодки равно$$t=\dfrac{52}{4}=13\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути 12 часов.$$t_{\text{лодки}}=13-1=12\text{ ч}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Переведём время остановки первого велосипедиста в часы:$$48\text{ мин} = 0{,}8\text{ ч}$$
- 2
Пусть $t$ часов — время движения второго велосипедиста до встречи. Тогда первый велосипедист двигался $t - 0{,}8$ часа.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Первый рабочий за час делает на 5 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 180 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+5$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{180}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{180}{x+5}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 3 часа меньше:$$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+5}=3$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 51 минуту, а затем продолжил движение до…
- 1
Переведём продолжительность остановки в часы:$$51\text{ мин} = \frac{51}{60}\text{ ч} = 0{,}85\text{ ч}$$
- 2
Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Второй велосипедист двигался всё это время, поэтому он проехал $20t$ км. Первый велосипедист двигался на $0{,}85$ часа меньше и проехал $10(t-0{,}85)$ км.
Ещё 3 қадам — толық шешімде