В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. б) Найдите высоту пирамиды, если…
- 1
Так как $M$ и $K$ — середины отрезков $AB$ и $SD$, то в векторной форме$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BS}\right)$$
- 2
В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно,$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BS}\right)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$…
- 1
Спроектируем отрезок $AC_1$ на плоскость основания. Точка $C_1$ проектируется в точку $C$, а ось цилиндра — в центр основания $O$. Поэтому точка пересечения отрезка $AC_1$ с осью цилиндра проектируется в точку $O$, и точки $A$, $O$, $C$…
- 2
Так как $A$ и $C$ лежат на окружности основания, а прямая $AC$ проходит через её центр, отрезок $AC$ является диаметром окружности.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём…
- 1
Поместим основание пирамиды в плоскость $z=0$, а его центр — в начало координат. Так как сторона основания равна $6$, можно взять координаты $A(3,3,0)$, $B(-3,3,0)$, $C(-3,-3,0)$, $D(3,-3,0)$. В правильной пирамиде вершина $S$ находится…$$S=(0,0,h)$$
- 2
Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно $3\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $SA=7$ получаем высоту пирамиды.$$h^2+(3\sqrt{2})^2=7^2,\quad h=\sqrt{31}$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $5$. Боковое ребро пирамиды равно $9$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$. Через…
- 1
Так как $AT:TD=1:2$, точка $T$ делит ребро $AD$ так, что $AT=\dfrac{1}{3}AD$.
- 2
Пусть секущая плоскость пересекает рёбра $AB$, $BC$ и $CD$ в точках $E$, $G$ и $F$ соответственно. В грани $ABD$ через $T$ проведена прямая, параллельная $BD$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках $AE:EB=AT:TD=1:2$…
Ещё 6 қадам — толық шешімде
Дана правильная четырёхугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B_1$ и $D$ и пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Известно, что…
- 1
Пусть сторона квадратного основания равна $a$, высота призмы равна $h$, а $AM=x$. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,h)$, $B_1(a,0,h)$, $C_1(a,a,h)$, $D_1(0,a,h)$. Тогда $M=(0,0,x)$.
- 2
Поскольку точки $M$, $B_1$, $D$ и $K$ лежат в одной плоскости, из уравнения этой плоскости следует, что высота точки $K$ над основанием равна $h-x$. Поэтому $K=(a,a,h-x)$.$$CK=h-x$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб. Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат. Найдите угол…
- 1
Обозначим $AB=a$, $AD=b$, $AA_1=h$. Так как плоскость сечения проходит через $BD_1$ и параллельна $AC$, она пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в их серединах. Сечение является параллелограммом с вершинами $B$, $D_1$ и этими двумя серединами.
- 2
Две соседние стороны сечения можно представить в виде векторов $\overrightarrow{BQ}=(-a,0,h/2)$ и $\overrightarrow{QD_1}=(0,b,h/2)$, где $Q$ — середина ребра $AA_1$.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Точка $M$ — середина ребра $SA$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$. Точка $N$ лежит на ребре $SB$, $SN:NB=1:2$. Докажите, что плоскость $CMN$ параллельна прямой $SD$, и…
- 1
Так как пирамида правильная, её вершина $S$ проецируется в центр квадрата $ABCD$. Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно $3\sqrt{2}$. Поэтому высота пирамиды:$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}$$
- 2
Введём координаты: $A(-3,-3,0)$, $B(3,-3,0)$, $C(3,3,0)$, $D(-3,3,0)$, $S(0,0,3\sqrt{2})$.
Ещё 9 қадам — толық шешімде
На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2$. Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно. а) Докажите, что…
- 1
Выберем аффинную систему координат с началом в точке $B$ и базисом $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BD}$. В координатах вершин имеем $A=(1,0,0)$, $B=(0,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(0,0,1)$.
- 2
Из условий деления рёбер получаем координаты точек:$$M=\left(\frac{2}{3},0,0\right),\quad N=\left(0,\frac{2}{3},0\right),\quad P=\left(\frac12,0,\frac12\right),\quad Q=\left(0,\frac12,\frac12\right)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $6$. Боковое ребро пирамиды равно $5$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=2:1$. Через…
- 1
Обозначим через $P$, $Q$ и $R$ точки пересечения секущей плоскости с рёбрами $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Так как плоскость проходит через $T$ параллельно $AC$, в грани $ACD$ отрезок $TR$ параллелен $AC$, а в грани $ABC$ отрезок $PQ$…
- 2
В треугольнике $ADB$ через точку $T$ проведена прямая, параллельная $BD$. По теореме о пропорциональных отрезках точка $P$ делит $AB$ так, что $AP:PB=1:2$. Аналогично в треугольнике $BCD$ получаем $BQ:QC=2:1$ и $CR:RD=1:2$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. Найдите высоту пирамиды, если…
- 1
Расположим основание пирамиды в плоскости $z=0$, а центр квадрата $ABCD$ совместим с началом координат. Так как $AB=24$, можно взять координаты $A(-12,-12,0)$, $B(12,-12,0)$, $C(12,12,0)$, $D(-12,12,0)$, $S(0,0,h)$, где $h$ — высота…
- 2
Найдём координаты середин рёбер $AB$ и $SD$: $M(0,-12,0)$, $K(-6,6,\frac h2)$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами…
- 1
Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$, $C(5,5,0)$, $D(0,5,0)$, $S\left(\frac52,\frac52,h\right)$. Пусть $t=\frac{SM}{SC}$, а $u=\frac{SN}{SD}$.
- 2
Так как точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, а рёбра $SC$ и $SD$ симметричны относительно плоскости, проходящей через $S$ и середины сторон $AB$ и $CD$, параметры равны: $t=u$.$$M=S+t(C-S),\quad N=S+t(D-S)$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . Плоскость перпендикулярна плоскости и содержит точки…
- 1
В условии, переданном для решения, пропущены ключевые математические обозначения: названия рёбер, точки, плоскости и значения отношений между отрезками.
- 2
Без этих данных невозможно однозначно определить положение секущей плоскости, доказать принадлежность указанной точки плоскости и установить вид сечения.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$…
- 1
Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на плоскость первого основания. Так как образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные образующие, а $BC = B_1C_1$.
- 2
Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Его проекция на плоскость основания — отрезок $AC$, который проходит через центр основания. Следовательно, $AC$ является диаметром окружности.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 5\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 2:3$.
- 1
Поскольку рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, треугольники $ADB$, $BDC$ и $CDA$ прямоугольные в вершине $D$.$$AB^2=DA^2+DB^2,\quad BC^2=DB^2+DC^2,\quad AC^2=DA^2+DC^2$$
- 2
Все стороны основания равны: $AB=BC=AC=5\sqrt{2}$. Поэтому из полученных равенств следует $DA=DB=DC$. Обозначим их общую длину через $x$.$$x^2+x^2=(5\sqrt{2})^2=50,\quad x=5$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ точки $M$ и $K$ — середины боковых рёбер $SA$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямые $BC$ и $MK$ параллельны. Найдите объём пирамиды $MABF$, если…
- 1
В треугольнике $SAD$ точки $M$ и $K$ являются серединами сторон $SA$ и $SD$. По теореме о средней линии треугольника $MK \parallel AD$.$$MK \parallel AD$$
- 2
Основание пирамиды $SABCDEF$ — правильный шестиугольник. В нём противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$.$$AD \parallel BC$$
Ещё 7 қадам — толық шешімде
В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно [значение не распознано]. На рёбрах [обозначения рёбер не распознаны] отмечены точки [обозначения точек не…
- 1
Однозначно решить задачу по представленному распознанному условию нельзя: в нём отсутствуют длина бокового ребра, обозначения рёбер и точек, отношения, задающие положение точек, а также обозначения двух плоскостей.
- 2
Для правильного треугольника со стороной 6 площадь основания равна $S_{\text{осн}} = \dfrac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.$$S_{\text{осн}} = 9\sqrt{3}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $A_1M=2MA$, $A_1K=KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость…
- 1
Выберем координаты вершин призмы: $A(0,0,0)$, $B(12,0,0)$, $C(6,6\sqrt{3},0)$, $A_1(0,0,12)$, $B_1(12,0,12)$, $C_1(6,6\sqrt{3},12)$.
- 2
Из условия $A_1M=2MA$ и $AA_1=12$ следует $MA=4$, поэтому $M(0,0,4)$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, поэтому $K(6,0,12)$.$$12-z_M=2z_M,\quad z_M=4$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$. а) Докажите, что…
- 1
Основание правильной четырёхугольной пирамиды является квадратом $ABCD$, а точка $O$ — его центр. Введём координаты:$$O(0,0,0),\quad B\left(-\frac12,\frac12,0\right),\quad D\left(\frac12,-\frac12,0\right),\quad C\left(-\frac12,-\frac12,0\right),\quad S(0,0,h)$$
- 2
Направляющий вектор ребра $SC$ равен $\overrightarrow{SC}=\left(-\dfrac12,-\dfrac12,-h\right)$. Направляющий вектор прямой $BD$ равен $\overrightarrow{BD}=(1,-1,0)$.$$\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BD}=\left(-\frac12\right)\cdot1+\left(-\frac12\right)\cdot(-1)+(-h)\cdot0=0$$
Ещё 8 қадам — толық шешімде
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 1:2$. Найдите…
- 1
Так как рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, треугольники $ADB$, $BDC$ и $ADC$ прямоугольные в точке $D$.$$AB^2=DA^2+DB^2,\quad BC^2=DB^2+DC^2,\quad AC^2=DA^2+DC^2$$
- 2
Поскольку $AB=BC=AC$, из равенств квадратов соответствующих сторон следует, что $DA=DB=DC$. Обозначим общую длину этих рёбер через $x$.$$2x^2=(6\sqrt{2})^2=72$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $M$ — середина ребра $AB$. Через точку $M$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная плоскости $SBC$ и пересекающая ребро $SD$ в точке $K$…
- 1
Пусть $AB=a$, а высота пирамиды равна $h$. Выберем координаты: $A\left(-\dfrac a2,-\dfrac a2,0\right)$, $B\left(\dfrac a2,-\dfrac a2,0\right)$, $C\left(\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$, $D\left(-\dfrac a2,\dfrac a2,0\right)$, $S(0,0,h)$. Так…
- 2
Уравнение плоскости $SBC$ можно записать в виде $2hx+az-ah=0$. Поскольку плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $SBC$ и проходит через точку $M$, её уравнение имеет вид $2hx+az=0$.$$2hx+az=0$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде