Решение: Цилиндр и прямой угол
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB = 20$, $BB_1 = 15$, $B_1C_1 = 21$.
Решение по шагам
6 шаговОбозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на плоскость первого основания. Так как образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные образующие, а $BC = B_1C_1$.
Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Его проекция на плоскость основания — отрезок $AC$, который проходит через центр основания. Следовательно, $AC$ является диаметром окружности.
Так как $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности основания, угол $ABC$ опирается на диаметр $AC$. По теореме Фалеса $\angle ABC = 90^\circ$.
Поскольку $BC$ лежит в основании, а $CC_1$ перпендикулярна основанию, плоскость $BCC_1$ перпендикулярна основанию. Из прямоугольности $\angle ABC$ следует, что $AB \perp BC$. Кроме того, $AB$ перпендикулярна образующей $BB_1$, поскольку $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания. Значит, $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $BB_1$ плоскости $BCC_1$, поэтому $AB \perp (BCC_1)$ и, в частности, $AB \perp BC_1$. Следовательно, $\angle ABC_1 = 90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ найдём диаметр основания: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 20^2 + 21^2 = 841$, поэтому $AC = 29$ и радиус основания равен $R = \dfrac{29}{2}$.
Высота цилиндра равна длине образующей: $h = BB_1 = 15$. Тогда площадь боковой поверхности цилиндра равна $S_{\text{бок}} = 2\pi Rh = 2\pi \cdot \dfrac{29}{2} \cdot 15 = 435\pi$.
$435\pi$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему проекция отрезка $AC_1$ является диаметром основания.
Путают длину хорды $B_1C_1$ с радиусом основания.
Используют формулу площади полной поверхности вместо площади боковой поверхности.
Забывают, что высота цилиндра равна образующей $BB_1$.