Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Стереометрия» — с ответами

Объём второго цилиндра

Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 18. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.

1. 1
   Объём цилиндра вычисляется по формуле:$$V = \pi r^2 h$$
2. 2
   При переходе от первого цилиндра ко второму радиус увеличивается в 2 раза, поэтому множитель $r^2$ увеличивается в $2^2 = 4$ раза. Высота уменьшается в 3 раза.$$\frac{V_2}{V_1} = 2^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём многогранника параллелепипеда

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 3$, $AD = 9$, $AA_1 = 4$.

1. 1
   Многогранник является пирамидой с прямоугольным основанием $ABCD$ и вершиной $A_1$.
2. 2
   Площадь основания — прямоугольника $ABCD$:$$S_{ABCD}=AB\cdot AD=3\cdot9=27$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённой призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.
2. 2
   Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому площадь основания отсечённой призмы составляет $\frac{1}{4}$ площади исходного основания.$$\frac{S_{\text{отр}}}{S}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённой призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 48, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия. Плоскость параллельна боковому ребру, поэтому высота отсечённой призмы такая же, как у исходной.$$\dfrac{S_{\text{отс}}}{S_{\text{исх}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём вписанного цилиндра

Шар, объём которого равен 18, вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   Пусть радиус шара равен $R$. При вписывании шара в цилиндр радиус основания цилиндра равен $R$, а высота цилиндра равна диаметру шара: $h=2R$.$$r=R,\quad h=2R$$
2. 2
   Выразим объём цилиндра и сравним его с объёмом шара.$$V_{\text{цил}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3,\quad V_{\text{ш}}=\frac{4}{3}\pi R^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём отсечённой призмы

Через среднюю линию основания правильной треугольной призмы, объём которой равен 84, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.$$k = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.$$\dfrac{S_{\text{мал}}}{S_{\text{осн}}} = k^2 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём многогранника в параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 6$, $BC = 5$, $AA_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $D$, $A_1$, $B_1$.

1. 1
   Многогранник можно рассматривать как прямую призму, высота которой равна $AB = 6$. Её основание — прямоугольный треугольник с катетами $BC = 5$ и $AA_1 = 4$.$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AA_1$$
2. 2
   Вычислим площадь основания призмы.$$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём конуса в шаре

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 60. Найдите объём конуса.

1. 1
   Обозначим радиус шара и радиус основания конуса через $R$. Так как радиус основания конуса равен радиусу шара, плоскость основания проходит через центр шара, поэтому высота конуса равна $R$.$$r=R,\quad h=R$$
2. 2
   Найдём отношение объёма конуса к объёму шара.$$\frac{V_{\text{конуса}}}{V_{\text{шара}}}=\frac{\frac{1}{3}\pi R^2\cdot R}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 15.

1. 1
   Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $k = \frac{1}{2}$.$$k = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия. Высота призмы у отсечённой и исходной призм одинакова, поэтому так же относятся и их объёмы.$$\frac{V_{\text{отсечённой}}}{V} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объёмы цилиндра и конуса

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 12. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   Объём цилиндра с площадью основания $S$ и высотой $h$ равен $Sh$, а объём конуса с теми же основанием и высотой — $\dfrac{1}{3}Sh$.$$V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3}V_{\text{ц}}$$
2. 2
   Следовательно, объём цилиндра в три раза больше объёма конуса.$$V_{\text{ц}} = 3 \cdot 12 = 36$$

Объём треугольной призмы

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсечённой треугольной призмы равен 7.

1. 1
   Средняя линия треугольника отсекает треугольник, подобный исходному, с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$.
2. 2
   Площадь основания отсечённой призмы в 4 раза меньше площади основания исходной призмы, поскольку площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия.$$\frac{S_{\text{отс}}}{S_{\text{исх}}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности шара

Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 21. Найдите площадь поверхности шара.

1. 1
   Пусть $r$ — радиус шара и цилиндра. Так как шар вписан в цилиндр, высота цилиндра равна $2r$.$$h = 2r$$
2. 2
   Найдём площадь полной поверхности цилиндра:$$S_{\text{цил}} = 2\pi r h + 2\pi r^2 = 2\pi r \cdot 2r + 2\pi r^2 = 6\pi r^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 8$, $BC = 7$, $AA_1 = 6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$.

1. 1
   Основанием многогранника является треугольник $ABC$, а высотой треугольной призмы — ребро $AA_1$.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC$$
2. 2
   Найдём площадь основания.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём треугольной призмы

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB=7$, $BC=6$, $AA_1=5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $A_1$, $B_1$, $C_1$.

1. 1
   Точки $A$, $B$, $C$ образуют треугольное основание призмы, а точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ — параллельное ему основание.
2. 2
   Так как $ABCD$ — прямоугольник, стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны. Площадь треугольника $ABC$ равна:$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 6=21$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём тетраэдра в параллелепипеде

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 6$, $BC = 5$, $AA_1 = 4$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.

1. 1
   Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $B_1$ является тетраэдром. Возьмём за основание треугольник $ABC$.
2. 2
   Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как $AB \perp BC$. Найдём его площадь:$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 5=15$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём шара в цилиндре

Цилиндр, объём которого равен 18, описан около шара. Найдите объём шара.

1. 1
   Пусть $r$ — радиус шара и радиус основания цилиндра. Цилиндр описан около шара, поэтому его высота равна диаметру шара: $h = 2r$.$$h = 2r$$
2. 2
   Запишем объём цилиндра и используем условие задачи:$$V_{\text{цил}} = \pi r^2h = 2\pi r^3 = 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём многогранника призмы

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A$, $B$, $C$, $C_1$ правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $6$, а боковое ребро равно $9$.

1. 1
   Многогранник с вершинами $A$, $B$, $C$, $C_1$ является пирамидой с основанием $ABC$.$$S_{\text{осн}} = 6$$
2. 2
   Высота пирамиды равна боковому ребру правильной призмы.$$h = CC_1 = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Объём цилиндра по объёму конуса

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Объём конуса равен 9. Найдите объём цилиндра.

1. 1
   Объёмы цилиндра и конуса с одинаковыми основанием и высотой выражаются формулами:$$V_{\text{ц}} = S h,\quad V_{\text{к}} = \dfrac{1}{3} S h$$
2. 2
   Следовательно, объём цилиндра в три раза больше объёма конуса:$$V_{\text{ц}} = 3V_{\text{к}} = 3 \cdot 9 = 27$$

Боковая поверхность конуса

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности цилиндра равна $3\sqrt{2}$. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

1. 1
   Обозначим радиус основания через $r$. По условию высота цилиндра равна радиусу: $h=r$.$$h=r$$
2. 2
   Найдём образующую конуса по теореме Пифагора:$$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{r^2+r^2}=r\sqrt{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объём описанного параллелепипеда

Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны 2. Найдите объём параллелепипеда.

1. 1
   Основание цилиндра — круг радиуса 2, вписанный в квадратное основание параллелепипеда. Сторона квадрата равна диаметру круга:$$a = 2r = 2 \cdot 2 = 4$$
2. 2
   Высота параллелепипеда совпадает с высотой цилиндра и равна 2.$$h = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении