Решение: Сечение правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ через ребро $AB$ провели плоскость $\alpha$, образующую сечение $ABMN$, где точки $M$ и $N$ — точки пересечения плоскости $\alpha$ с боковыми рёбрами $SC$ и $SD$ соответственно. Известно, что $AB = BM = AN = 5MN$. а) Докажите, что точки $M$ и $N$ делят рёбра $SC$ и $SD$ в отношении $1:4$, считая от вершины $S$. б) Найдите косинус угла между плоскостью основания $ABCD$ и плоскостью $\alpha$.
Решение по шагам
9 шаговВведём координаты: $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$, $C(5,5,0)$, $D(0,5,0)$, $S\left(\frac52,\frac52,h\right)$. Пусть $t=\frac{SM}{SC}$, а $u=\frac{SN}{SD}$.
Так как точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, а рёбра $SC$ и $SD$ симметричны относительно плоскости, проходящей через $S$ и середины сторон $AB$ и $CD$, параметры равны: $t=u$.
$$M=S+t(C-S),\quad N=S+t(D-S)$$При таком параметре координаты точек имеют вид $M\left(\frac52(1+t),\frac52(1+t),h(1-t)\right)$ и $N\left(\frac52(1-t),\frac52(1+t),h(1-t)\right)$. Поэтому $MN=5t$.
$$MN=5t$$По условию $AB=5MN$ и $AB=5$, следовательно, $MN=1$. Значит, $5t=1$, откуда $t=\frac15$.
$$t=\frac{MN}{5}=\frac15$$Следовательно, $SM:MC=t:(1-t)=\frac15:\frac45=1:4$. Аналогично $SN:ND=1:4$.
$$SM:MC=SN:ND=1:4$$Вычислим высоту пирамиды из условия $BM=5$. При $t=\frac15$ имеем $M(3,3,\frac45h)$. Поэтому
$$BM^2=3^2+3^2+\left(\frac45h\right)^2=25$$Отсюда $18+\frac{16}{25}h^2=25$, поэтому $h^2=\frac{175}{16}$ и $h=\frac{5\sqrt7}{4}$.
$$h=\frac{5\sqrt7}{4}$$Плоскость $\alpha$ проходит через ось $AB$ и точку $M(3,3,\frac45h)$. Её уравнение имеет вид $z=ky$, где $k=\frac{\frac45h}{3}=\frac{\sqrt7}{3}$.
$$z=\frac{\sqrt7}{3}y$$Нормаль к плоскости основания вертикальна. Для плоскости $\alpha$ можно взять нормаль $\vec n=(0,-\frac{\sqrt7}{3},1)$. Косинус угла между плоскостями равен отношению вертикальной составляющей нормали к её длине.
$$\cos\varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{7}{9}}}=\frac34$$а) $SM:MC=SN:ND=1:4$. б) $\cos\varphi=\frac34$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно трактуют условие $AB=BM=AN=5MN$: из него следует $MN=1$, а не $MN=5$.
Забывают доказать, что точки $M$ и $N$ делят боковые рёбра с одинаковым параметром.
Путают косинус угла между плоскостями с косинусом угла между их нормалями без учёта выбора острого угла.
Неверно вычисляют высоту пирамиды из длины отрезка $BM$.