Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $a^2+ax-2x^2-6a-3x+9|x|=0$ имеет меньше четырёх различных корней.
- 1
Рассмотрим случай $x\geqslant 0$. Тогда $|x|=x$, и уравнение принимает вид$$a^2+ax-2x^2-6a-3x+9=0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые:$$-2x^2+(a-3)x+(a-3)^2=0$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(x+1)a^2+x(x+1)^2a+x^4+2x^3-2x-1=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Разложим свободную часть уравнения:$$x^4+2x^3-2x-1=(x+1)^2(x-1)$$
- 2
Тогда исходное уравнение принимает вид:$$(x+1)\left(a^2+ax(x+1)+(x+1)(x-1)\right)=0$$
Ещё 8 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $4^x + (a - 6)2^x = (2 + 3|a|)2^x + (a - 6)(3|a| + 2)$ имеет единственное решение.
- 1
Выполним замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом действительном $x$, то $t > 0$. Кроме того, каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x$.$$4^x = (2^x)^2 = t^2$$
- 2
Подставим замену в исходное уравнение и перенесём все слагаемые в левую часть.$$t^2 + (a-6)t - (2+3|a|)t^2 - (a-6)(3|a|+2)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений \[ \begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=3x+a \end{cases} \] имеет ровно два различных решения.
- 1
Если произведение $(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}$ равно нулю, то в силу существования квадратного корня необходимо и достаточно, чтобы $xy-2x+12=0$ и $y-2x+12\geqslant 0$.
- 2
Подставим $y=3x+a$ в уравнение $xy-2x+12=0$:$$x(3x+a)-2x+12=0\quad\Longleftrightarrow\quad 3x^2+(a-2)x+12=0$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$ \begin{cases} (xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0,\\ y=ax-10 \end{cases} $$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из равенства произведения нулю получаем два случая: $y-2x+12=0$ или $xy-2x+12=0$, причём во втором случае необходимо условие $y-2x+12\ge 0$.$$(xy-2x+12)\sqrt{y-2x+12}=0$$
- 2
В первом случае $y=2x-12$. С учётом уравнения прямой получаем $(a-2)x=-2$. Поэтому при $a\ne2$ имеется одно решение, а при $a=2$ решений в этом случае нет.$$ax-10=2x-12$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений $$\begin{cases}x+y=a,\\ |y|=|x^2-2x|\end{cases}$$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из первого уравнения системы получаем $y=a-x$. Тогда$$|a-x|=|x^2-2x|$$
- 2
Равенство модулей равносильно совокупности двух уравнений:$$a-x=x^2-2x \quad \text{или} \quad a-x=-x^2+2x$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} |x|+|y|=a,\\ y=\sqrt{x+4} \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
- 1
Из второго уравнения следует $y\geqslant 0$ и $x=y^2-4$. Подставим это выражение в первое уравнение:$$|y^2-4|+y=a$$
- 2
На отрезке $0\leqslant y\leqslant 2$ выражение $y^2-4$ неположительно, поэтому$$a=4+y-y^2$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{7x-4}\cdot\ln\left(x^2-8x+17-a^2\right)=0$ имеет на отрезке $[0;4]$ ровно один корень.
- 1
Рассмотрим область допустимых значений уравнения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $7x-4\ge 0$, поэтому $x\ge\frac{4}{7}$. С учётом заданного отрезка рассматриваются значения $x\in\left[\frac{4}{7};4\right]$.$$7x-4\ge 0$$
- 2
Произведение равно нулю, если равен нулю хотя бы один множитель. Первый множитель равен нулю при $x=\frac{4}{7}$.$$\sqrt{7x-4}=0\iff x=\frac{4}{7}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система неравенств $$ \begin{cases} ax \ge 2,\\ \sqrt{x-1}>a,\\ 3x\le 2a+11 \end{cases} $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке $[3;4]$.
- 1
Так как $x\in[3;4]$, переменная $x$ положительна. Первое неравенство равносильно условию $a\ge\dfrac{2}{x}$, второе — условию $a<\sqrt{x-1}$, а третье — условию $a\ge\dfrac{3x-11}{2}$.
- 2
Сравним нижние границы. Разность соответствующих выражений определяется неравенством$$\frac{2}{x}\ge\frac{3x-11}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 4\ge 3x^2-11x\quad\Longleftrightarrow\quad (x-4)(3x+1)\le0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\dfrac{9x^2-a^2}{x^2+8x+16-a^2}=0$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.$$9x^2-a^2=0,\qquad x^2+8x+16-a^2\ne0$$
- 2
Разложим числитель на множители и найдём его корни.$$9x^2-a^2=(3x-a)(3x+a)=0,\qquad x=\frac{a}{3}\ \text{или}\ x=-\frac{a}{3}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^2$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t=1;2;\ldots$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт…
- 1
Если ценные бумаги продаются в конце $k$-го года, то к концу 25-го года сумма на счёте составит$$S_k=k^2(1+r)^{25-k}$$
- 2
Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:$$\frac{S_{k+1}}{S_k}=\frac{(k+1)^2(1+r)^{24-k}}{k^2(1+r)^{25-k}}=\frac{(k+1)^2}{k^2(1+r)}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^4-16x^2+64a^2}=x^2+4x-8a$ имеет ровно три решения.
- 1
Так как левая часть уравнения неотрицательна, необходимо потребовать неотрицательность правой части. После возведения в квадрат получаем:$$x^4-16x^2+64a^2=(x^2+4x-8a)^2$$
- 2
Раскрываем скобки и переносим все слагаемые в одну часть:$$8x^3+(32-16a)x^2-64ax=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при которых уравнение $(x + \ln(x + a))^2 = (x - \ln(x + a))^2$ имеет единственное решение на отрезке $[0; 1]$.
- 1
Сначала учтём область определения: для решения должно выполняться $x+a>0$.
- 2
Преобразуем уравнение с помощью разности квадратов:$$(x+\ln(x+a))^2-(x-\ln(x+a))^2=4x\ln(x+a)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $ax^4-2x^3+(a^3-a)x^2-(2a^2-2)x=-ax^3+2x^2-(a^3-a)x+2a^2-2$ имеет ровно два различных корня.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и приведём подобные:$$ax^4+(a-2)x^3+(a^3-a-2)x^2+(a^3-2a^2-a+2)x-2a^2+2=0$$
- 2
Получившийся многочлен раскладывается на множители:$$ax^4+(a-2)x^3+(a^3-a-2)x^2+(a^3-2a^2-a+2)x-2a^2+2=(x+1)(ax-2)(x^2+a^2-1)$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения.
- 1
В условии указано требование найти значения параметра, при которых система имеет ровно два различных решения.
- 2
Однако формулы системы уравнений не распознаны и отсутствуют на предоставленном изображении. Поэтому невозможно построить графики, преобразовать систему или определить число решений.
Найдите все значения $a$, при каждом из которых система $$ \begin{cases} 2^{|x|+3}+7\cdot|x|+1=8y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases} $$ имеет единственное решение.
- 1
Из второго уравнения системы следует, что точка $(x,y)$ лежит на единичной окружности. Обозначим $t=|x|$, тогда $0\le t\le 1$ и $y=\pm\sqrt{1-t^2}$.
- 2
Поскольку первое уравнение зависит от $x$ только через $|x|$ и $x^2$, вместе с решением $(x,y)$ при $x\ne0$ автоматически существует решение $(-x,y)$. Поэтому единственное решение возможно только при $x=0$.
Ещё 7 шагов — в полном решении
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{4x^2-(4a+2)x+2a}$ на отрезке $[0;1]$ имеет ровно один корень.
- 1
Оба выражения являются квадратными корнями. Поэтому исходное уравнение равносильно системе: подкоренные выражения равны и оба неотрицательны.$$\begin{cases}x^2-a^2=4x^2-(4a+2)x+2a,\\x^2-a^2\geq 0.\end{cases}$$
- 2
Из равенства подкоренных выражений получаем квадратное уравнение относительно $x$.$$3x^2-(4a+2)x+a^2+2a=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $(5x - 2)\cdot\ln(x+a)=(5x-2)\cdot\ln(2x-a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Сначала выпишем область определения уравнения:$$x+a>0,\quad 2x-a>0$$
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях. Первый случай:$$5x-2=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac25$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{2x-1}\cdot\ln(4x-a)=\sqrt{2x-1}\cdot\ln(5x+a)$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Область определения квадратного корня требует $x\geq\frac12$. При $x=\frac12$ множитель перед логарифмами равен нулю, поэтому равенство выполняется при условии существования обоих логарифмов:$$4\cdot\frac12-a>0,\quad 5\cdot\frac12+a>0$$
- 2
Следовательно, $x=\frac12$ является корнем при $-\frac52<a<2$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $\sqrt{4x-1}\cdot\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$ имеет ровно один корень на отрезке $[0;1]$.
- 1
Рассмотрим область определения уравнения. Необходимо $4x-1\ge 0$, поэтому $x\ge\frac14$. Кроме того, аргумент логарифма должен быть положительным.$$x\in\left[\frac14;1\right],\qquad x^2-2x+2-a^2>0$$
- 2
Произведение равно нулю в двух случаях: либо первый множитель равен нулю, либо логарифм равен нулю.$$\sqrt{4x-1}=0\quad\text{или}\quad\ln\left(x^2-2x+2-a^2\right)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении