401ФИПИ 99C41E№ 21Повышенная Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а скорость против течения — $x-5$ км/ч.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{48}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{42}{x-5}$ часов. Составим уравнение для всего времени движения.$$\dfrac{48}{x+5}+\dfrac{42}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
402ФИПИ 99EDEC№ 21Повышенная Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого…
- 1
Обозначим скорость первого бегуна через $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+5$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун прошёл $x$ км, и ему осталось 3 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $x+3$ км.$$L=x+3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
403ФИПИ 9AB71F№ 21Повышенная Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда время движения из А в В составляет $\dfrac{224}{x}$ часов.
- 2
На обратном пути скорость равна $x+2$ км/ч, поэтому время движения без остановки составляет $\dfrac{224}{x+2}$ часов. С учётом остановки общее время равно $\dfrac{224}{x+2}+2$.
Ещё 4 шага — в полном решении
404ФИПИ 9B8840№ 21Повышенная Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+2$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+2$$
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{224}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{224}{x+2}$ ч. Первый прибыл на 2 часа раньше.$$\frac{224}{x}-\frac{224}{x+2}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
405ФИПИ 9C3531№ 21Повышенная Свежие фрукты содержат 72 % воды, а высушенные — 26 %. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах сухое вещество составляет $100\% - 72\% = 28\%$.$$100\% - 72\% = 28\%$$
- 2
Найдём массу сухого вещества в 222 кг свежих фруктов.$$222 \cdot 0{,}28 = 62{,}16\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
406ФИПИ 9D1C92№ 21Повышенная Первые 450 км автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, следующие 230 км — со скоростью 115 км/ч, а последние 120 км — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Вычислим время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{450}{90} = 5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{230}{115} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{120}{40} = 3\ \text{ч}$$
- 2
Найдём общий путь и общее время движения.$$S = 450 + 230 + 120 = 800\ \text{км},\quad t = 5 + 2 + 3 = 10\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
407ФИПИ 9EC678№ 21Повышенная Два автомобиля одновременно отправляются в 880-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.
- 2
Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{880}{x}$ часов, а время движения первого — $\dfrac{880}{x+30}$ часов. По условию второй автомобиль ехал на 3 часа дольше.$$\dfrac{880}{x} - \dfrac{880}{x+30} = 3$$
Ещё 4 шага — в полном решении
408ФИПИ A09B46№ 21Повышенная Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах содержится $100\% - 86\% = 14\%$ сухого вещества.$$341 \cdot 0{,}14 = 47{,}74\ \text{кг}$$
- 2
В высушенных фруктах содержится $100\% - 23\% = 77\%$ сухого вещества. Масса сухого вещества при сушке не изменяется, поэтому обозначим массу высушенных фруктов через $x$.$$0{,}77x = 47{,}74$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
409ФИПИ A291D2№ 21Повышенная Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 16 %. Сколько сухих фруктов получится из 204 кг свежих фруктов?
- 1
При сушке испаряется только вода, поэтому масса сухого вещества остаётся неизменной. В свежих фруктах сухое вещество составляет $100\% - 86\% = 14\%$.$$204 \cdot 0{,}14 = 28{,}56\ \text{кг}$$
- 2
В высушенных фруктах воды 16 %, значит, сухое вещество составляет $100\% - 16\% = 84\%$ массы высушенных фруктов.
Ещё 2 шага — в полном решении
410ФИПИ A2EB29№ 21Повышенная Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого…
- 1
Обозначим скорость первого бегуна через $v$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $v+5$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун пробежал $v$ км, и ему оставалось 2 км до конца круга. Значит, длина круга равна $v+2$ км.
Ещё 3 шага — в полном решении
411ФИПИ A2FAC8№ 21Высокая Имеются два сосуда, содержащие 22 кг и 18 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 32% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов…
- 1
Пусть $x$ кг кислоты содержится в первом растворе, а $y$ кг — во втором.
- 2
Масса всего раствора равна $22+18=40$ кг. Поэтому масса кислоты в полученном растворе составляет $0{,}32\cdot40=12{,}8$ кг.$$x+y=12{,}8$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
412ФИПИ A5F060№ 21Повышенная Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 54 км/ч, а вторую — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть весь путь автомобиля равен $S$ км. Тогда каждая половина пути равна $S/2$ км.$$S_1=S_2=\dfrac{S}{2}$$
- 2
Найдём время движения на каждой половине пути и сложим эти времена.$$t=\dfrac{S/2}{54}+\dfrac{S/2}{90}=\dfrac{S}{108}+\dfrac{S}{180}=\dfrac{2S}{135}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
413ФИПИ A777F7№ 21Повышенная Первые 330 км автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 150 км — со скоростью 50 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём весь путь автомобиля сложением длин всех участков.$$S = 330 + 105 + 150 = 585\ \text{км}$$
- 2
Вычислим время движения на каждом участке.$$t_1 = \dfrac{330}{110} = 3\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{105}{35} = 3\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{150}{50} = 3\ \text{ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
414ФИПИ A7AC98№ 21Повышенная Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+20$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+20$$
- 2
Время движения второго автомобиля на 1 ч больше времени движения первого автомобиля.$$\dfrac{240}{x}-\dfrac{240}{x+20}=1$$
Ещё 3 шага — в полном решении
415ФИПИ A8230C№ 21Повышенная Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 90 км/ч, а вторую — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть половина всего пути равна $S$ км. Тогда весь путь равен $2S$ км.$$s_{\text{общ}}=2S$$
- 2
Время движения на первой половине пути равно $\dfrac{S}{90}$ ч, а на второй половине — $\dfrac{S}{110}$ ч.$$t_{\text{общ}}=\dfrac{S}{90}+\dfrac{S}{110}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
416ФИПИ A82BBF№ 21Повышенная Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 86 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 18 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 86 - 6 = 80\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$80\ \text{км/ч} = 80 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{200}{9}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
417ФИПИ A9CF75№ 21Повышенная Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 30 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
- 1
Найдём долю сухих веществ в свежих и высушенных фруктах:$$100\% - 88\% = 12\%,\quad 100\% - 30\% = 70\%$$
- 2
Масса сухих веществ при сушке не изменяется. Найдём её массу в 72 кг высушенных фруктов:$$72 \cdot 0{,}7 = 50{,}4\ \text{кг}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
418ФИПИ ADA209№ 21Повышенная Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Поезд и пешеход движутся в одном направлении, поэтому скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 93 - 3 = 90\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$v_{\text{отн}} = \dfrac{90}{3{,}6} = 25\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
419ФИПИ AE6B73№ 21Повышенная Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 165 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 26 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна $26+x$ км/ч, а против течения — $26-x$ км/ч.
- 2
Теплоход находился в пути $18-5=13$ часов, так как 5 часов он стоял.
Ещё 4 шага — в полном решении
420ФИПИ B61BDD№ 21Повышенная Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 6 км/ч, за 12 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, их относительная скорость равна разности скоростей.$$v_{\text{отн}} = 141 - 6 = 135\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$135\ \text{км/ч} = \frac{135}{3{,}6} = 37{,}5\ \text{м/с}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении