Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Текстовые задачи» — с ответами

Пусть длина каждой половины пути равна $S$ км. Тогда весь путь равен $2S$ км.

Время движения на первой половине пути равно $\dfrac{S}{55}$ ч, а на второй половине — $\dfrac{S}{70}$ ч.

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+4$ км/ч, а против течения — $x-4$ км/ч.

На стоянку теплоход затратил 15 часов, поэтому суммарное время движения составило $39-15=24$ часа.

Обозначим через $x$ кг массу кислоты в первом растворе, а через $y$ кг — массу кислоты во втором растворе.

При смешивании всего раствора его масса равна $10+16=26$ кг, а масса кислоты составляет $55\%$ от этой массы.$$x+y=0{,}55\cdot 26=14{,}3$$

Определим долю сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 79\% = 21\%$$

Найдём массу сухого вещества в 288 кг свежих фруктов:$$288 \cdot 0{,}21 = 60{,}48\ \text{кг}$$

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей.$$v_{\text{сбл}} = 57 + 3 = 60\ \text{км/ч}$$

Переведём скорость сближения в метры в секунду.$$60\ \text{км/ч} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-5$ км/ч, а скорость по течению — $x+5$ км/ч.

Время движения против течения составляет $\dfrac{208}{x-5}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{208}{x+5}$ часов. По условию время обратного пути на 5 часов меньше:$$\dfrac{208}{x-5}-\dfrac{208}{x+5}=5$$

Пусть $t$ часов — время движения второго велосипедиста до встречи. Первый велосипедист двигался на 26 минут меньше, то есть $t - \dfrac{26}{60}$ часов.

Расстояние, пройденное первым велосипедистом, равно $21\left(t - \dfrac{26}{60}\right)$ км, а вторым — $30t$ км. Сумма этих расстояний равна расстоянию между городами.$$21\left(t - \dfrac{26}{60}\right) + 30t = 217$$

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+16$ км/ч.$$x>0$$

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{105}{x}$ часов, а первого — $\dfrac{105}{x+16}$ часов. По условию первый затратил на 4 часа меньше:$$\dfrac{105}{x}-\dfrac{105}{x+16}=4$$

Найдём содержание сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 88\% = 12\%$$

Найдём массу сухого вещества в 31 кг высушенных фруктов. После сушки сухое вещество сохраняется:$$31 \cdot 0{,}84 = 26{,}04\ \text{кг}$$

Определим долю сухого вещества в свежих фруктах:$$100\% - 79\% = 21\% = 0{,}21$$

Определим долю сухого вещества в высушенных фруктах:$$100\% - 16\% = 84\% = 0{,}84$$

В свежих фруктах сухое вещество составляет:$$100\% - 85\% = 15\%$$

Найдём массу сухого вещества в 420 кг свежих фруктов:$$420 \cdot 0{,}15 = 63\ \text{кг}$$

Переведём продолжительность остановки в часы:$$36\ \text{мин}=\frac{36}{60}\ \text{ч}=0{,}6\ \text{ч}$$

Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Второй велосипедист двигался всё это время, поэтому он проехал $20t$ км. Первый велосипедист двигался на $0{,}6$ часа меньше, поэтому его путь равен $10(t-0{,}6)$ км.

Переведём скорости из километров в час в метры в секунду:$$93\ \text{км/ч}=\frac{93}{3{,}6}=25{,}833\ldots\ \text{м/с},\qquad 3\ \text{км/ч}=\frac{3}{3{,}6}=0{,}833\ldots\ \text{м/с}$$

Поезд и пешеход движутся в одном направлении, поэтому относительная скорость равна разности их скоростей:$$v_{\text{отн}}=\frac{93-3}{3{,}6}=25\ \text{м/с}$$

Определим долю сухого вещества в свежих и высушенных фруктах.$$100\% - 86\% = 14\%,\qquad 100\% - 18\% = 82\%$$

Найдём массу сухого вещества в 35 кг высушенных фруктов.$$35 \cdot 0{,}82 = 28{,}7\text{ кг}$$

Пусть $x$ литров воды в минуту пропускает вторая труба. Тогда первая труба пропускает $x-3$ литра в минуту.

Вторая труба заполнит резервуар за $\dfrac{260}{x}$ минут, а первая труба — за $\dfrac{260}{x-3}$ минут.

Пусть $x$ литров воды в минуту пропускает вторая труба. Тогда первая труба пропускает $x-16$ литров в минуту. По смыслу задачи $x>16$.$$x>16$$

Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{105}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{105}{x-16}$ минут. Первая труба заполняет резервуар на 4 минуты дольше.$$\dfrac{105}{x-16}-\dfrac{105}{x}=4$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+10$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{60}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{60}{x+10}$ ч. По условию второй велосипедист ехал на 3 часа дольше.$$\dfrac{60}{x} - \dfrac{60}{x+10} = 3$$

После высушивания масса сухих веществ не изменяется. В свежих фруктах сухие вещества составляют $100\% - 81\% = 19\%$.$$420 \cdot 0{,}19 = 79{,}8\ \text{кг}$$

В высушенных фруктах вода составляет 16 %, поэтому сухие вещества составляют $100\% - 16\% = 84\%$.$$0{,}84x = 79{,}8$$

Общее время поездки составляет 14 часов, из них 8 часов теплоход стоял. Поэтому время движения теплохода равно:$$14-8=6\text{ ч}$$

Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $24+x$ км/ч, а против течения — $24-x$ км/ч.

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 36 + 4 = 40\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$40\ \text{км/ч} = 40 \cdot \dfrac{1000}{3600} = \dfrac{100}{9}\ \text{м/с}$$