Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Текстовые задачи» — с ответами

Скорость первого автомобиля

Два автомобиля одновременно отправляются в 990-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого…

1. 1
   Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x - 20$ км/ч.
2. 2
   Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{990}{x}$ ч, а второго — $\dfrac{990}{x-20}$ ч. Второй автомобиль был в пути на 2 часа дольше.$$\dfrac{990}{x-20} - \dfrac{990}{x} = 2$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Скорость баржи по течению

Баржа прошла по течению реки 40 км и, повернув обратно, прошла ещё 30 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

1. 1
   Обозначим собственную скорость баржи через $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x+5,\quad x-5$$
2. 2
   Время движения по течению составляет $\dfrac{40}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{30}{x-5}$ ч. По условию их сумма равна 5 часам.$$\dfrac{40}{x+5}+\dfrac{30}{x-5}=5$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Два автомобиля одновременно отправляются в 720-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 30 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 4 ч раньше второго. Найдите скорость первого…

1. 1
   Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.
2. 2
   Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{720}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{720}{x+30}$ ч. Первый автомобиль был в пути на 4 часа меньше:$$\dfrac{720}{x} - \dfrac{720}{x+30} = 4$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Длина поезда при встречном движении

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 51 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 50 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

1. 1
   Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}}=51+3=54\ \text{км/ч}$$
2. 2
   Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$54\ \text{км/ч}=54\cdot\frac{1000}{3600}=15\ \text{м/с}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость первого бегуна

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 7 км до окончания первого…

1. 1
   Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+8$ км/ч.
2. 2
   Через один час первый бегун пробежал $x$ километров, и ему осталось 7 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $x+7$ км.$$L=x+7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Средняя скорость автомобиля

Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а последние 180 км — со скоростью 45 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. 1
   Найдём время движения автомобиля на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{200}{50} = 4\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{180}{90} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{180}{45} = 4\ \text{ч}$$
2. 2
   Определим весь пройденный путь и всё время движения.$$S = 200 + 180 + 180 = 560\ \text{км},\quad t = 4 + 2 + 4 = 10\ \text{ч}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Движение лодки по реке

Расстояние между пристанями А и В равно 48 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…

1. 1
   Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. Найдём время, за которое плот проплыл 25 км:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{25}{5}=5\text{ ч}$$
2. 2
   Лодка отправилась через час после плота, поэтому она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=5-1=4\text{ ч}$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Масса свежих фруктов

Свежие фрукты содержат 88 % воды, а высушенные — 25 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

1. 1
   При сушке масса воды уменьшается, а масса сухого вещества сохраняется. В высушенных фруктах сухое вещество составляет:$$100\% - 25\% = 75\%$$
2. 2
   Найдём массу сухого вещества в 44 кг высушенных фруктов:$$44 \cdot 0{,}75 = 33\ \text{кг}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость второго велосипедиста

Два велосипедиста одновременно отправляются в 209-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 8 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 8 часов раньше второго. Найдите скорость…

1. 1
   Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+8$ км/ч.
2. 2
   Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{209}{x}$ часов, а первого — $\dfrac{209}{x+8}$ часов. По условию первый прибыл на 8 часов раньше.$$\dfrac{209}{x}-\dfrac{209}{x+8}=8$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Растворы кислоты и концентрация

Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…

1. 1
   Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.$$0<x<1,\quad 0<y<1$$
2. 2
   При смешивании всего содержимого сосудов масса раствора равна $48+42=90$ кг, а масса кислоты в нём равна $90\cdot0{,}42=37{,}8$ кг.$$48x+42y=37{,}8$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Скорость первого автомобиля

Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 6 км/ч, а вторую…

1. 1
   Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь от А до В равен $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x-6$ км/ч.$$v_1=x,\quad v_{2,1}=x-6$$
2. 2
   Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{S}{x}$. Время движения второго автомобиля складывается из времени прохождения двух половин пути.$$t_1=\dfrac{S}{x},\quad t_2=\dfrac{S}{2(x-6)}+\dfrac{S}{112}$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Растворы разной концентрации

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…

1. 1
   Пусть $x$ кг — масса кислоты в первом растворе, а $y$ кг — масса кислоты во втором растворе.
2. 2
   При смешивании всех растворов общая масса раствора равна $4+16=20$ кг, поэтому масса кислоты в нём составляет $0{,}57 \cdot 20=11{,}4$ кг.$$x+y=11{,}4$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Масса свежих фруктов

Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

1. 1
   В высушенных фруктах сухое вещество составляет $100\% - 17\% = 83\%$.$$44 \cdot 0{,}83 = 36{,}52\ \text{кг}$$
2. 2
   Сухое вещество не исчезает при сушке. В свежих фруктах его доля равна $100\% - 78\% = 22\%$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Скорость бегуна на трассе

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого…

1. 1
   Пусть длина одного круга равна $x$ км. Через один час после старта первый бегун находился в 1 км от финиша круга, поэтому он пробежал $x-1$ км.$$v_1=\dfrac{x-1}{1}=x-1$$
2. 2
   Второй бегун завершил первый круг за 20 минут до момента сообщения. Значит, он пробежал круг за $60-20=40$ минут, то есть за $\dfrac{2}{3}$ часа.$$v_2=\dfrac{x}{2/3}=\dfrac{3x}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Размер шрифта для формата А5

Используя материал, определите, какой высоты нужен шрифт в пунктах, чтобы текст был расположен на листе формата А5 так же, как этот же текст, напечатанный шрифтом высотой 16 пунктов на листе формата…

1. 1
   При переходе от формата А4 к формату А5 площадь листа уменьшается в 2 раза. Так как форматы подобных листов сохраняют пропорции, каждый линейный размер уменьшается в $\sqrt{2}$ раза.$$k = \sqrt{2}$$
2. 2
   Высота шрифта должна уменьшиться во столько же раз:$$h = \dfrac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}31$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между деревнями

Используя план сельской местности из общего материала, найдите расстояние от Доломино до Ванютино по шоссе. Ответ дайте в километрах.

1. 1
   По плану определяем расположение Доломино и Ванютино и рассматриваем соответствующий участок шоссе.
2. 2
   Используя размеры сторон прямоугольного треугольника, указанные на плане, вычисляем искомое расстояние по теореме Пифагора.$$d = 8$$

Рост интернет-трафика в августе

По данным графика из общего материала определите, на сколько процентов увеличился трафик мобильного интернета в августе по сравнению с июлем 2019 года?

1. 1
   По графику определяем: в июле трафик мобильного интернета составил 2 ГБ, а в августе — 3 ГБ.$$V_{\text{июль}}=2,\quad V_{\text{август}}=3$$
2. 2
   Находим, какую долю от июльского значения составляет увеличение трафика:$$\dfrac{3-2}{2}=\dfrac{1}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Окупаемость газового отопления

Хозяин участка планирует установить в жилом доме систему отопления. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о…

1. 1
   Найдём разницу в стоимости покупки и установки систем отопления:$$(22000+20105)-(19000+16000)=7105\text{ руб.}$$
2. 2
   Стоимость работы газового отопления за один час составляет:$$1{,}5\cdot4{,}9=7{,}35\text{ руб.}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Время поездки через Егорку

Используя данные плана сельской местности и общего текста, определите, сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут через Егорку и Жилино мимо конюшни.

1. 1
   По плану определяем длины трёх участков выбранного маршрута: по шоссе от Антоновки до Егорки, по просёлочной дороге от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.
2. 2
   Вычисляем время движения на каждом участке по формуле $t = \dfrac{s}{v}$: для участков по шоссе используем скорость $50$ км/ч, для просёлочного участка — $30$ км/ч.

Ещё 2 шага — в полном решении

Расстояние по шоссе

Используя план из общего материала, определите, сколько километров проедут Серёжа с папой от деревни Пирожки до села Княжеское, если они поедут по шоссе через деревню Рябиновка?

1. 1
   По плану подсчитываем длину маршрута по шоссе от Пирожков до Рябиновки и от Рябиновки до Княжеского. Всего маршрут составляет 23 клеточных отрезка.$$n = 23$$
2. 2
   Длина стороны каждой клетки равна 2 км, поэтому длина маршрута равна:$$23 \cdot 2 = 46\ \text{км}$$