401ФИПИ 683F49№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $60^\circ$ и $135^\circ$, а $CD = 36$.
- 1
Так как основания трапеции параллельны, высота трапеции одинакова для обеих боковых сторон. Угол между боковой стороной $CD$ и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.$$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$
- 2
Выразим высоту трапеции через боковые стороны $AB$ и $CD$.$$h = AB\sin 60^\circ = CD\sin 45^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
402ФИПИ 6AD95A№ 23Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 24$, $BF = 10$.
- 1
Основания трапеции $ABCD$ параллельны, поэтому односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$.$$\angle FAB + \angle ABF = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
403ФИПИ 6F3846№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 4$, $CK = 19$.
- 1
Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой $AK$ и стороной $AD$ равен углу между $AK$ и $BC$.
- 2
Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, углы $BAK$ и $KAD$ равны. С учётом параллельности $AD$ и $BC$ получаем равенство углов $BAK$ и $AKB$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
404ФИПИ 705153№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $150^\circ$, а $CD = 26$.
- 1
Так как $ABCD$ — трапеция, её основания $AD$ и $BC$ параллельны. Высота трапеции равна произведению боковой стороны $CD$ на синус угла $BCD$.$$h = CD \cdot \sin 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту трапеции:$$h = 26 \cdot \frac{1}{2} = 13$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $39^\circ$ и $51^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $19$ и $3$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, является средней линией, поэтому его длина равна полусумме оснований.$$m=\dfrac{a+b}{2}$$
- 2
Один из данных отрезков равен $19$, следовательно, сумма оснований равна:$$\dfrac{a+b}{2}=19\quad\Rightarrow\quad a+b=38$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
406ФИПИ 7ADF99№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 11$, $CK = 20$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, длина стороны $BC$ равна сумме отрезков $BK$ и $CK$.$$BC = BK + CK = 11 + 20 = 31$$
- 2
Стороны $AD$ и $BC$ параллельны. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, углы $BAK$ и $KAD$ равны. Углы $KAD$ и $AKB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$. Следовательно, углы $BAK$ и $AKB$ равны.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $80^\circ$ и $10^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $20$ и $17$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=20$$
- 2
Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=40$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $39^\circ$ и $51^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Поэтому его длина равна 19:$$\frac{a+b}{2}=19$$
- 2
Следовательно, сумма оснований равна:$$a+b=38$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
409ФИПИ 8E9764№ 23Күрделі Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 16$ и $CH = 4$. Найдите высоту ромба.
- 1
В ромбе все стороны равны, поэтому длина стороны $AD$ равна длине стороны $CD$:$$AD = CD = DH + CH = 16 + 4 = 20$$
- 2
Так как $AH$ — высота ромба, угол $AHD$ прямой. В прямоугольном треугольнике $ADH$ по теореме Пифагора:$$AD^2 = AH^2 + DH^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
410ФИПИ 92214F№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^\circ$ и $120^\circ$, а $CD = 25$.
- 1
Опустим из вершин $A$ и $D$ перпендикуляры на основание $BC$. Полученные отрезки являются высотами трапеции, поэтому их длины равны.$$h = AB\sin 30^\circ = CD\sin 120^\circ$$
- 2
Подставим известную длину боковой стороны $CD = 25$ и значения синусов.$$AB\sin 30^\circ = 25\sin 120^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
411ФИПИ 9599CF№ 23Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 12$, $BF = 9$.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Угол $AFB$ образован биссектрисами углов $A$ и $B$, поэтому его величина равна:$$\angle AFB = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
412ФИПИ 96E347№ 23Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 12$, $BF = 5$.
- 1
Основания трапеции $AD$ и $BC$ параллельны, поэтому углы $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ являются односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Биссектрисы дополнительных углов перпендикулярны, поэтому треугольник $AFB$ прямоугольный с прямым углом $AFB$.$$\angle AFB = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 10, а одна из диагоналей ромба равна 40. Найдите углы ромба.
- 1
Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Одна диагональ равна $40$, поэтому половина этой диагонали равна $20$. Обозначим половину второй диагонали через $y$.
- 2
Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому сторона ромба равна гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами $20$ и $y$: $a=\sqrt{20^2+y^2}$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $47^\circ$ и $43^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $16$ и $14$. Найдите основания трапеции.
- 1
Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причём $b>a$, а высота равна $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, равен полусумме оснований.$$\frac{a+b}{2}=16$$
- 2
Рассмотрим отрезок длиной $14$, соединяющий середины оснований. Его горизонтальная составляющая равна $\frac{h\operatorname{ctg}43^\circ}{2}$, а вертикальная составляющая равна $h$.$$14^2=h^2+\left(\frac{h\operatorname{ctg}43^\circ}{2}\right)^2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 16, а одна из диагоналей ромба равна 64. Найдите углы ромба.
- 1
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Половина данной диагонали равна $32$. Обозначим половину второй диагонали через $x$, а сторону ромба через $a$.$$a^2=32^2+x^2$$
- 2
Точка пересечения диагоналей равноудалена от всех сторон ромба, поэтому расстояние до стороны является радиусом вписанной окружности. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.$$S=\frac{64\cdot 2x}{2}=64x$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 20, а площадь равна 20, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Для четырёхугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Тогда $a+b=2c$.
- 2
Из условия о периметре получаем $a+b+2c=20$. С учётом равенства $a+b=2c$ имеем $2(a+b)=20$, поэтому $a+b=10$ и $c=5$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
417ФИПИ A7BB6D№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 5$, $CK = 14$.
- 1
Найдём длину стороны $BC$ по условию:$$BC = BK + KC = 5 + 14 = 19$$
- 2
В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 19$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Углы при одном из оснований трапеции равны $50^\circ$ и $40^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $15$ и $13$. Найдите основания трапеции.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований.$$m=\frac{a+b}{2}$$
- 2
Пусть $D=a-b$. Горизонтальная проекция высоты на каждом из краёв трапеции равна соответственно $h\cot50^\circ$ и $h\cot40^\circ$. Поэтому$$D=h(\cot50^\circ+\cot40^\circ)=\frac{2h}{\sin80^\circ}$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
419ФИПИ B5384B№ 23Күрделі Высота $AH$ ромба $ABCD$ делит сторону $CD$ на отрезки $DH = 21$ и $CH = 8$. Найдите высоту ромба.
- 1
Найдём длину стороны ромба:$$CD = DH + CH = 21 + 8 = 29$$
- 2
Все стороны ромба равны, поэтому $AD = 29$. Так как $AH$ — высота, то $AH \perp CD$, и треугольник $ADH$ прямоугольный.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
420ФИПИ B53A99№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 36$, $BC = 18$, $CF : DF = 7 : 2$.
- 1
По условию $CF : DF = 7 : 2$, поэтому весь отрезок $CD$ состоит из $9$ равных частей, а $CF$ — из $7$ таких частей:$$\frac{CF}{CD} = \frac{7}{7+2} = \frac{7}{9}$$
- 2
Поскольку $EF \parallel AD \parallel BC$, длина параллельного основаниям отрезка изменяется пропорционально расстоянию от основания $BC$ к основанию $AD$. Разность длин оснований равна:$$AD - BC = 36 - 18 = 18$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде