Решение: Основания трапеции по отрезкам
Углы при одном из оснований трапеции равны $39^\circ$ и $51^\circ$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 19 и 17. Найдите основания трапеции.
Решение по шагам
7 шаговОбозначим основания трапеции через $a$ и $b$, причём $a>b$, а высоту — через $h$. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен полусумме оснований. Поэтому его длина равна 19:
$$\frac{a+b}{2}=19$$Следовательно, сумма оснований равна:
$$a+b=38$$Пусть отрезок, соединяющий середины оснований, имеет длину 17. Его горизонтальная составляющая равна половине разности котангенсов углов, умноженной на высоту, а вертикальная составляющая равна $h$. Поэтому его длина равна $h\csc 78^\circ$:
$$17=h\csc 78^\circ$$Разность оснований выражается через высоту и углы при основании:
$$a-b=h(\cot 39^\circ+\cot 51^\circ)$$Так как $\cot 51^\circ=\tan 39^\circ$ и $\cot x+\tan x=2\csc 2x$, имеем:
$$a-b=2h\csc 78^\circ=2\cdot17=34$$Решаем систему уравнений:
$$\begin{cases}a+b=38\\a-b=34\end{cases}$$Отсюда получаем значения оснований:
$$a=36,\quad b=2$$Основания трапеции равны 36 и 2.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать отрезок между серединами боковых сторон с отрезком между серединами оснований.
Использовать 17 как полусумму оснований, хотя полусуммой является отрезок длиной 19.
Забыть, что разность оснований равна удвоенной длине отрезка между серединами оснований в данном случае.