Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Большая диагональ ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

1. 1
   Большая диагональ ромба расположена горизонтально.
2. 2
   По клеткам видно, что между концами большой диагонали укладывается 10 единичных отрезков.$$d = 10 \cdot 1 = 10$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку длина горизонтальной диагонали ромба равна $12$ клеткам, а вертикальной — $4$ клеткам.$$d_1 = 12,\quad d_2 = 4$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{12 \cdot 4}{2} = 24$$

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Первое утверждение неверно: у ромба равны только противоположные углы, а все четыре угла равны лишь у квадрата.
2. 2
   В прямоугольнике противоположные углы равны $90^\circ$, поэтому сумма противоположных углов равна $180^\circ$.$$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Проверим первое утверждение. Для треугольника со сторонами 1, 2 и 4 сумма двух меньших сторон должна быть больше третьей, но $1 + 2 < 4$. Такой треугольник не существует.$$1 + 2 = 3 < 4$$
2. 2
   Равные диагонали параллелограмма означают, что он является прямоугольником. Прямоугольник не обязательно является ромбом, поэтому второе утверждение неверно.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Первое утверждение неверно: площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле, содержащей множитель $\dfrac{1}{2}$.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
2. 2
   Второе утверждение верно. Квадрат является прямоугольником, а диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Первое утверждение неверно: расстояния от точки пересечения окружностей до их центров равны радиусам окружностей, а радиусы могут быть различными.
2. 2
   Второе утверждение верно: в параллелограмме противоположные углы равны.$$\angle A = \angle C,\quad \angle B = \angle D$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Первое утверждение неверно: равенство двух сторон не является достаточным признаком равенства треугольников.
2. 2
   Второе утверждение неверно: расстояния от точки пересечения окружностей до их центров равны только в частном случае, а не всегда.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Основания трапеции — это её противоположные стороны, которые по определению параллельны. Поэтому первое утверждение истинно.
2. 2
   Диагонали ромба не обязательно равны. Равенство диагоналей характерно, например, для квадрата, но не для любого ромба.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное свойство ромба

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Диагонали произвольного параллелограмма не обязательно равны. Они равны, например, у прямоугольника, но не у каждого параллелограмма.
2. 2
   Ромб является параллелограммом. Его площадь можно найти как произведение стороны на высоту, проведённую к этой стороне:$$S = ah$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное утверждение о ромбе

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Утверждение 1 неверно: равенство соответствующих сторон четырёхугольников не гарантирует равенство самих четырёхугольников.
2. 2
   Утверждение 2 верно, поскольку площадь параллелограмма, а значит и ромба, равна произведению двух смежных сторон на синус угла между ними.$$S = ab\sin\alpha$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинные геометрические утверждения

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1. 1
   Квадрат имеет четыре прямых угла, поэтому каждый квадрат является прямоугольником. Утверждение 1 ложно.
2. 2
   В параллелограмме противоположные стороны равны. Если две соседние стороны равны, то равны все четыре стороны. Следовательно, параллелограмм является ромбом. Утверждение 2 истинно.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Сумма внутренних углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Поэтому первое утверждение истинно.$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$$
2. 2
   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований, а не их сумме.$$m = \dfrac{a+b}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   У прямоугольника сумма противоположных углов равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Поэтому любой прямоугольник можно вписать в окружность.$$90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   У ромба равны противоположные углы, но соседние углы, вообще говоря, не равны. Значит, второе утверждение неверно.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   У подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, поэтому утверждение 1 неверно.$$S_1:S_2=k^2$$
2. 2
   Прямоугольник является параллелограммом. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому утверждение 2 истинно.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Истинное геометрическое утверждение

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

1. 1
   Проверим первое утверждение. Если сторона квадрата равна $a$, то его диагональ равна $a\sqrt{2}$, а произведение диагоналей равно $2a^2$, то есть в два раза больше площади квадрата.$$S=a^2,\quad d_1d_2=(a\sqrt{2})^2=2a^2$$
2. 2
   В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, в нём есть два равных угла.$$\angle A=\angle C,\quad \angle B=\angle D$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Углы ромба по диагонали

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 17, а одна из диагоналей ромба равна 68. Найдите углы ромба.

1. 1
   Обозначим половину второй диагонали ромба через $x$. Тогда половина известной диагонали равна $34$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому сторона ромба равна$$a=\sqrt{34^2+x^2}$$
2. 2
   Площадь ромба можно выразить через диагонали:$$S=\frac{68\cdot 2x}{2}=68x$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Угол параллелограмма по диагонали

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65^\circ$ и $80^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит угол $ABC$ на два угла, поэтому$$\angle ABC=65^\circ+80^\circ=145^\circ$$
2. 2
   Соседние углы параллелограмма supplementary, то есть их сумма равна $180^\circ$.$$\angle A=\angle C=180^\circ-145^\circ=35^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Боковая сторона трапеции

Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30^\circ$ и $135^\circ$, а $CD = 29$.

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, высота трапеции равна перпендикулярной составляющей боковой стороны $CD$. Угол между стороной $CD$ и основанием равен $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.$$h = CD \cdot \sin 45^\circ$$
2. 2
   Подставим длину стороны $CD$ и найдём высоту трапеции.$$h = 29 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{29\sqrt{2}}{2}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Угол параллелограмма по диагонали

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $65^\circ$ и $50^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит угол $B$ параллелограмма на два угла.$$\angle B = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$$
2. 2
   Соседние углы параллелограмма в сумме дают $180^\circ$, поэтому меньший угол равен:$$180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $62^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому$$\angle BAD = \angle CDA = 62^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, значит$$\angle CAD = \frac{\angle BAD}{2} = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении