381ФИПИ 1520BE№ 23Күрделі Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $50^\circ$ и $85^\circ$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
- 1
Диагональ $BD$ делит угол $B$ на два угла, равные $50^\circ$ и $85^\circ$.$$\angle B = 50^\circ + 85^\circ = 135^\circ$$
- 2
Соседние углы параллелограмма в сумме равны $180^\circ$.$$\angle A = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
382ФИПИ 1C1CFA№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $45^\circ$ и $150^\circ$, а $CD = 32$.
- 1
Так как $AB$ и $CD$ — боковые стороны трапеции, её основания $AD$ и $BC$ параллельны.
- 2
Опустим из вершины $D$ перпендикуляр на основание $BC$. В получившемся прямоугольном треугольнике угол между $CD$ и основанием равен $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
383ФИПИ 1EA262№ 23Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 20$, $BF = 15$.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому углы $A$ и $B$, прилежащие к боковой стороне $AB$, являются односторонними и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам этих углов. Следовательно, угол при вершине $F$ прямой.$$\angle AFB = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадь равна 1620, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, где $a>b$, боковая сторона равна $c$, а высота равна $h$. Для четырёхугольника, в который можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем:$$a+b+2c=180$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Обозначим основания равнобедренной трапеции через $a$ и $b$, боковую сторону через $c$, а высоту через $h$. Так как в трапецию можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем:$$a+b+2c=120$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
386ФИПИ 248EE7№ 23Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 21$, $BF = 20$.
- 1
Основания трапеции параллельны, поэтому внутренние односторонние углы при боковой стороне $AB$ supplementary:$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Так как $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам этих углов. Поэтому их сумма равна $90^\circ$:$$\angle FAB + \angle FBA = \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 1500, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Пусть основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Для описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны, поэтому$$a+b=2c$$
- 2
По условию периметр равен $200$, значит$$a+b+2c=200$$
Ещё 6 қадам — толық шешімде
388ФИПИ 292E1E№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 45$, $BC = 27$, $CF : DF = 5 : 4$.
- 1
Так как $EF$ параллелен основаниям трапеции, длина отрезка, параллельного основаниям, изменяется линейно от длины $BC$ до длины $AD$.
- 2
Из отношения $CF:DF=5:4$ получаем $CD=CF+DF$ и $\frac{CF}{CD}=\frac{5}{9}$. Значит, отрезок $EF$ расположен на $\frac{5}{9}$ расстояния от основания $BC$ к основанию $AD$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 18, а одна из диагоналей ромба равна 72. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим вторую диагональ ромба через $d$, а сторону ромба — через $a$. Точка пересечения диагоналей находится на расстоянии $18$ от стороны, поэтому это радиус вписанной в ромб окружности.$$r=18$$
- 2
Площадь ромба через диагонали равна $S=\dfrac{72d}{2}=36d$. Полупериметр ромба равен $p=2a$. С другой стороны, $S=rp$, поэтому$$36d=18\cdot 2a$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
390ФИПИ 351F19№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 8$, $CK = 13$.
- 1
Так как $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle KAD$. Поскольку $BC \parallel AD$, угол $AKB$ равен углу $KAD$.$$\angle BAK = \angle AKB$$
- 2
В треугольнике $ABK$ равны углы при вершинах $A$ и $K$, поэтому равны и противолежащие стороны.$$AB = BK = 8$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
391ФИПИ 382F20№ 23Күрделі Найдите боковую сторону $AB$ трапеции $ABCD$, если углы $ABC$ и $BCD$ равны соответственно $30°$ и $135°$, а $CD = 17$.
- 1
Проведём из вершин $A$ и $D$ перпендикуляры к основанию $BC$. Их длины равны высоте трапеции $h$.$$h = AB\sin 30°$$
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $CD$ и высотой трапеции. Угол между $CD$ и основанием равен $135°$, поэтому острый угол в этом прямоугольном треугольнике равен $45°$.$$h = CD\sin 135° = 17\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
392ФИПИ 3D72D5№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 48$, $BC = 16$, $CF : DF = 5 : 3$.
- 1
Из условия $CF : DF = 5 : 3$ следует, что $CD$ состоит из $8$ равных частей, а отрезок $CF$ — из $5$ таких частей. Поэтому $\dfrac{CF}{CD} = \dfrac{5}{8}$.
- 2
Поскольку $EF$ параллелен основаниям трапеции, длина параллельного сечения изменяется пропорционально его положению на боковой стороне. От основания $BC$ до основания $AD$ длина увеличивается на $AD - BC = 48 - 16 = 32$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
393ФИПИ 3F6C6B№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 6$, $CK = 10$.
- 1
Так как точка $K$ лежит на стороне $BC$, найдём длину стороны $BC$:$$BC = BK + CK = 6 + 10 = 16$$
- 2
В параллелограмме $AD \parallel BC$, поэтому угол между биссектрисой $AK$ и стороной $AD$ равен половине угла $A$. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, из рассмотрения равных углов и параллельности следует, что треугольник $ABK$…$$AB = BK = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.
- 1
Обозначим точку пересечения диагоналей ромба через $O$. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Половина данной диагонали равна $22$. Пусть половина второй диагонали равна $x$, а сторона ромба равна $a$.
- 2
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. По теореме Пифагора:$$a^2=22^2+x^2$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
- 1
Обозначим основания трапеции через $a$ и $b$, где $a$ — меньшее основание, а боковую сторону — через $c$. Так как в трапецию можно вписать окружность, суммы противоположных сторон равны:$$a+b=2c$$
- 2
Из условия о периметре получаем:$$a+b+c+c=80$$
Ещё 9 қадам — толық шешімде
396ФИПИ 43E5B5№ 23Күрделі Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $BK = 10$, $CK = 18$.
- 1
Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$, а значит, $AD \parallel BK$.
- 2
Поскольку $AK$ — биссектриса угла $DAB$, то $\angle BAK = \angle DAK$. Из-за параллельности $AD$ и $BK$ углы $\angle DAK$ и $\angle AKB$ равны как накрест лежащие.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
397ФИПИ 55CB45№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 42$, $BC = 14$, $CF : DF = 4 : 3$.
- 1
Из отношения $CF : DF = 4 : 3$ получаем $CD = CF + DF$, поэтому $CF : CD = 4 : 7$.$$CD = 7k,\quad CF = 4k,\quad \frac{CF}{CD} = \frac{4}{7}$$
- 2
Прямая $EF$ параллельна основаниям трапеции. Поэтому длина параллельного сечения изменяется от $BC$ до $AD$ пропорционально расстоянию вдоль боковой стороны $CD$.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
398ФИПИ 5A2C47№ 23Күрделі Биссектрисы углов $A$ и $B$ при боковой стороне $AB$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $F$. Найдите $AB$, если $AF = 32$, $BF = 24$.
- 1
В трапеции основания параллельны, поэтому сумма углов, прилежащих к боковой стороне $AB$, равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.$$\angle A + \angle B = 180^\circ$$
- 2
Поскольку $AF$ и $BF$ — биссектрисы углов $A$ и $B$, углы треугольника $AFB$ при вершинах $A$ и $B$ равны половинам углов $A$ и $B$.$$\angle FAB + \angle ABF = \dfrac{\angle A + \angle B}{2} = 90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
399ФИПИ 5D0CC5№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 33$, $BC = 18$, $CF : DF = 2 : 1$.
- 1
Из отношения $CF : DF = 2 : 1$ следует, что $CD$ разделена точкой $F$ на три равные части, причём $CF$ составляет две трети всей боковой стороны.$$CD = CF + DF,\quad \frac{CF}{CD} = \frac{2}{2+1} = \frac{2}{3}$$
- 2
Длина отрезка, параллельного основаниям трапеции, изменяется от длины меньшего основания $BC$ до длины большего основания $AD$ пропорционально расстоянию от основания $BC$.$$EF = BC + \frac{CF}{CD}(AD - BC)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
400ФИПИ 60A16B№ 23Күрделі Прямая, параллельная основаниям трапеции $ABCD$, пересекает её боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Найдите длину отрезка $EF$, если $AD = 50$, $BC = 30$, $CF : DF = 7 : 3$.
- 1
Из отношения $CF:DF=7:3$ следует, что $CD=10$ частей, а $CF$ составляет $\frac{7}{10}$ боковой стороны $CD$.
- 2
Поскольку $EF\parallel AD\parallel BC$, длина параллельного основаниям сечения изменяется пропорционально расстоянию от одного основания до другого. От основания $BC$ до основания $AD$ разность длин равна $AD-BC=50-30=20$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде