Задание 15 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Основание пирамиды — квадрат со стороной 8, поэтому его площадь равна$$S_{\text{осн}}=8^2=64$$

Центр правильной пирамиды равноудалён от всех вершин основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$

Выберем систему координат: $O$ — начало координат, основание лежит в плоскости $z=0$, а ось $Oz$ направлена вдоль $SO$. Так как $AB=2$, можно взять $A(1,1,0)$, $B(-1,1,0)$, $C(-1,-1,0)$, $D(1,-1,0)$. Тогда $S(0,0,\sqrt{14})$.

Так как $M$ — середина $SC$, получаем $M\left(-\frac12,-\frac12,\frac{\sqrt{14}}2\right)$. Из условия $BK:KC=3:1$ следует, что $K$ находится на расстоянии $\frac34BC$ от точки $B$, поэтому $K\left(-1,-\frac12,0\right)$.

Обозначим $\overrightarrow{BC}=\mathbf{u}$, $\overrightarrow{BA}=\mathbf{v}$, а вертикальный вектор призмы — $\mathbf{w}$. Тогда $|\mathbf{w}|=2$. Так как $B_1K:KC_1=1:2$, имеем $\overrightarrow{BK}=\mathbf{w}+\frac13\mathbf{u}$.

Основаниями трапеции являются $MK$ и $AN$. Действительно, $\overrightarrow{MK}=\frac13(\mathbf{u}-2\mathbf{v})$. Пусть $N$ делит $BC$ в отношении $BN:NC=t:(1-t)$. Тогда $\overrightarrow{AN}=t\mathbf{u}-\mathbf{v}$.

Из условия известны только сторона основания правильной шестиугольной пирамиды и длина бокового ребра: 5 и 9.

Обозначения точек, рёбер, плоскостей и числовое условие между точками отсутствуют как в распознанном тексте, так и на предоставленном изображении.

Введём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Тогда $B(5,0,0)$, $D(0,3,0)$, $A_1(0,0,4)$, $C_1(5,3,4)$.

Найдём координаты середины диагонали $AC_1$ и направляющий вектор этой диагонали:$$M\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},2\right),\quad \overrightarrow{AC_1}=(5,3,4)$$

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$, отрезок $MN$ является общей перпендикулярной к противоположным рёбрам $AB$ и $CD$ правильного тетраэдра. В частности, $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.$$MN \perp AB,\quad MN \perp CD$$

Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$, любая прямая, лежащая в $\alpha$ и параллельная $AB$ или $CD$, перпендикулярна $MN$.

Так как $M$ и $K$ — середины отрезков $AB$ и $SD$, то в векторной форме$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BS}\right)$$

В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно,$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BS}\right)$$

Спроектируем отрезок $AC_1$ на плоскость основания. Точка $C_1$ проектируется в точку $C$, а ось цилиндра — в центр основания $O$. Поэтому точка пересечения отрезка $AC_1$ с осью цилиндра проектируется в точку $O$, и точки $A$, $O$, $C$…

Так как $A$ и $C$ лежат на окружности основания, а прямая $AC$ проходит через её центр, отрезок $AC$ является диаметром окружности.

Поместим основание пирамиды в плоскость $z=0$, а его центр — в начало координат. Так как сторона основания равна $6$, можно взять координаты $A(3,3,0)$, $B(-3,3,0)$, $C(-3,-3,0)$, $D(3,-3,0)$. В правильной пирамиде вершина $S$ находится…$$S=(0,0,h)$$

Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно $3\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $SA=7$ получаем высоту пирамиды.$$h^2+(3\sqrt{2})^2=7^2,\quad h=\sqrt{31}$$

Так как $AT:TD=1:2$, точка $T$ делит ребро $AD$ так, что $AT=\dfrac{1}{3}AD$.

Пусть секущая плоскость пересекает рёбра $AB$, $BC$ и $CD$ в точках $E$, $G$ и $F$ соответственно. В грани $ABD$ через $T$ проведена прямая, параллельная $BD$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках $AE:EB=AT:TD=1:2$…

Пусть сторона квадратного основания равна $a$, высота призмы равна $h$, а $AM=x$. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,h)$, $B_1(a,0,h)$, $C_1(a,a,h)$, $D_1(0,a,h)$. Тогда $M=(0,0,x)$.

Поскольку точки $M$, $B_1$, $D$ и $K$ лежат в одной плоскости, из уравнения этой плоскости следует, что высота точки $K$ над основанием равна $h-x$. Поэтому $K=(a,a,h-x)$.$$CK=h-x$$

Обозначим $AB=a$, $AD=b$, $AA_1=h$. Так как плоскость сечения проходит через $BD_1$ и параллельна $AC$, она пересекает рёбра $AA_1$ и $CC_1$ в их серединах. Сечение является параллелограммом с вершинами $B$, $D_1$ и этими двумя серединами.

Две соседние стороны сечения можно представить в виде векторов $\overrightarrow{BQ}=(-a,0,h/2)$ и $\overrightarrow{QD_1}=(0,b,h/2)$, где $Q$ — середина ребра $AA_1$.

Так как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции $ABCD$, отрезок $MN$ является средней линией трапеции.$$MN\parallel AD\parallel BC,\qquad MN=\frac{AD+BC}{2}$$

Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает основание пирамиды по отрезку $MN$, параллельному основаниям трапеции. Обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами $SA$ и $SD$ соответственно. Так как плоскость…$$\frac{AP}{AS}=\frac{DQ}{DS}$$

Так как пирамида правильная, её вершина $S$ проецируется в центр квадрата $ABCD$. Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно $3\sqrt{2}$. Поэтому высота пирамиды:$$SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\sqrt{6^2-(3\sqrt{2})^2}=3\sqrt{2}$$

Введём координаты: $A(-3,-3,0)$, $B(3,-3,0)$, $C(3,3,0)$, $D(-3,3,0)$, $S(0,0,3\sqrt{2})$.

Выберем аффинную систему координат с началом в точке $B$ и базисом $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BD}$. В координатах вершин имеем $A=(1,0,0)$, $B=(0,0,0)$, $C=(0,1,0)$, $D=(0,0,1)$.

Из условий деления рёбер получаем координаты точек:$$M=\left(\frac{2}{3},0,0\right),\quad N=\left(0,\frac{2}{3},0\right),\quad P=\left(\frac12,0,\frac12\right),\quad Q=\left(0,\frac12,\frac12\right)$$

Обозначим через $P$, $Q$ и $R$ точки пересечения секущей плоскости с рёбрами $AB$, $BC$ и $CD$ соответственно. Так как плоскость проходит через $T$ параллельно $AC$, в грани $ACD$ отрезок $TR$ параллелен $AC$, а в грани $ABC$ отрезок $PQ$…

В треугольнике $ADB$ через точку $T$ проведена прямая, параллельная $BD$. По теореме о пропорциональных отрезках точка $P$ делит $AB$ так, что $AP:PB=1:2$. Аналогично в треугольнике $BCD$ получаем $BQ:QC=2:1$ и $CR:RD=1:2$.

Расположим основание пирамиды в плоскости $z=0$, а центр квадрата $ABCD$ совместим с началом координат. Так как $AB=24$, можно взять координаты $A(-12,-12,0)$, $B(12,-12,0)$, $C(12,12,0)$, $D(-12,12,0)$, $S(0,0,h)$, где $h$ — высота…

Найдём координаты середин рёбер $AB$ и $SD$: $M(0,-12,0)$, $K(-6,6,\frac h2)$.

Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(5,0,0)$, $C(5,5,0)$, $D(0,5,0)$, $S\left(\frac52,\frac52,h\right)$. Пусть $t=\frac{SM}{SC}$, а $u=\frac{SN}{SD}$.

Так как точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости, а рёбра $SC$ и $SD$ симметричны относительно плоскости, проходящей через $S$ и середины сторон $AB$ и $CD$, параметры равны: $t=u$.$$M=S+t(C-S),\quad N=S+t(D-S)$$

В условии, переданном для решения, пропущены ключевые математические обозначения: названия рёбер, точки, плоскости и значения отношений между отрезками.

Без этих данных невозможно однозначно определить положение секущей плоскости, доказать принадлежность указанной точки плоскости и установить вид сечения.

Обозначим через $C$ проекцию точки $C_1$ на плоскость первого основания. Так как образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, $CC_1$ и $BB_1$ — параллельные образующие, а $BC = B_1C_1$.

Отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра. Его проекция на плоскость основания — отрезок $AC$, который проходит через центр основания. Следовательно, $AC$ является диаметром окружности.