Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на обратном пути равна $x+9$ км/ч.

Время движения из А в В равно $\dfrac{112}{x}$ часов, а время обратного пути с учётом остановки — $\dfrac{112}{x+9}+4$ часов. По условию эти времена равны.$$\dfrac{112}{x}=\dfrac{112}{x+9}+4$$

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x - 15$ литров воды в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{100}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{100}{x-15}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 6 минут дольше:$$\dfrac{100}{x-15} - \dfrac{100}{x} = 6$$

Обозначим через $x$ скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-5$ км/ч, а по течению — $x+5$ км/ч.

Время движения против течения равно $\dfrac{132}{x-5}$, а время движения по течению — $\dfrac{132}{x+5}$.

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. Поскольку движение против течения возможно, $x>5$.

Время движения по течению равно $\dfrac{72}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{54}{x-5}$ ч. Составим уравнение по условию задачи.$$\dfrac{72}{x+5}+\dfrac{54}{x-5}=9$$

Определим, сколько сухого вещества содержится в свежих фруктах:$$305 \cdot 0{,}16 = 48{,}8\ \text{кг}$$

В высушенных фруктах сухое вещество составляет 80%, поэтому обозначим массу высушенных фруктов через $x$ и составим уравнение:$$0{,}8x = 48{,}8$$

Пусть скорость велосипедиста, пришедшего вторым, равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+9$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{112}{x}$ часов, а время движения первого — $\dfrac{112}{x+9}$ часов. По условию второй затратил на 4 часа больше:$$\dfrac{112}{x} - \dfrac{112}{x+9} = 4$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $x+7$ км/ч. Обозначим весь путь через $S$ км.

Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{S}{x}$. Время движения второго автомобиля складывается из времени прохождения двух половин пути.$$\frac{S}{x}=\frac{S}{2\cdot78}+\frac{S}{2(x+7)}$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь от А до В равен $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $(x+9)$ км/ч.

Так как автомобили прибыли одновременно, приравняем времена движения.$$\dfrac{S}{x}=\dfrac{S}{2\cdot 56}+\dfrac{S}{2(x+9)}$$

Обозначим скорость течения реки через $x$ км/ч. Тогда скорость теплохода по течению равна $34+x$ км/ч, а против течения — $34-x$ км/ч.

Общее время движения теплохода без стоянки равно $36-19=17$ часов.

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, найдём скорость поезда относительно пешехода.$$v_{\text{отн}}=78-6=72\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$72\cdot\dfrac{5}{18}=20\ \text{м/с}$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а расстояние между пунктами А и В равно $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x-16$ км/ч.$$x>60$$

Время движения первого автомобиля равно времени движения второго автомобиля.$$\frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-16)}+\frac{S}{2\cdot96}$$

Скорость плота равна скорости течения реки — 5 км/ч. Поэтому плот проплыл 15 км за$$t_{\text{плота}}=\dfrac{15}{5}=3\text{ ч}$$

Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути$$t_{\text{лодки}}=3-1=2\text{ ч}$$

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда первая труба пропускает $x - 13$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{208}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{208}{x-13}$ минут. По условию первая труба заполняет резервуар на 8 минут дольше:$$\dfrac{208}{x-13} - \dfrac{208}{x} = 8$$

Плот проплыл 28 км со скоростью течения 4 км/ч, поэтому время его движения до возвращения лодки равно:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{28}{4}=7\text{ ч}$$

Лодка отправилась через час после плота, значит, она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=7-1=6\text{ ч}$$

Плот движется со скоростью течения реки, то есть со скоростью 5 км/ч. По условию он проплыл 50 км, поэтому всё время движения до возвращения лодки составило:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{50}{5}=10\ \text{ч}$$

Лодка отправилась на 1 час позже плота, значит, она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=10-1=9\ \text{ч}$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь от А до В равен $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $x+6$ км/ч.

Время движения первого автомобиля составляет $\dfrac{S}{x}$. Время движения второго автомобиля складывается из времени прохождения двух половин пути:$$\frac{S}{2 \cdot 55} + \frac{S}{2(x+6)}$$

Обозначим через $x$ скорость велосипедиста на пути из В в А. Тогда скорость на пути из А в В равна $x-10$ км/ч.

Время движения из А в В равно $\dfrac{60}{x-10}$ ч, а время обратного пути с учётом остановки — $\dfrac{60}{x}+3$ ч. По условию эти времена равны:$$\dfrac{60}{x-10}=\dfrac{60}{x}+3$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. Необходимо, чтобы $x>5$.$$x>5$$

Время движения по течению составляет $\dfrac{132}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{132}{x-5}$ часов.

Пусть скорость первого бегуна равна $v$ км/ч, а длина круга — $L$ км. Через один час первый бегун прошёл $v$ км, и ему оставался 1 км до конца круга. Поэтому$$L=v+1$$

Второй бегун пробежал первый круг за 40 минут, так как к моменту сообщения он уже бежал на 20 минут дольше после старта. $40$ минут составляют $\dfrac{2}{3}$ часа, поэтому скорость второго бегуна равна$$v_2=\dfrac{L}{2/3}=\dfrac{3L}{2}$$

Найдём время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{350}{70} = 5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{105}{35} = 3\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{160}{80} = 2\ \text{ч}$$

Найдём весь пройденный путь и общее время движения.$$S = 350 + 105 + 160 = 615\ \text{км},\quad t = 5 + 3 + 2 = 10\ \text{ч}$$