Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$ км/ч, а по течению — $v+1$ км/ч.$$v-1>0$$

Время движения против течения равно $\dfrac{255}{v-1}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{255}{v+1}$ часов. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:$$\dfrac{255}{v-1}-\dfrac{255}{v+1}=2$$

В свежих фруктах сухое вещество составляет:$$100\% - 82\% = 18\%$$

Найдём массу сухого вещества в 132 кг свежих фруктов:$$132 \cdot 0{,}18 = 23{,}76\ \text{кг}$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а длина пути — $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $(x-11)$ км/ч.$$v_1=x,\quad v_{2,1}=x-11,\quad v_{2,2}=66$$

Так как автомобили прибыли одновременно, времена их движения равны.$$\frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-11)}+\frac{S}{132}$$

Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда производительность первой трубы равна $x-9$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{112}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{112}{x-9}$ минут.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна $19+x$ км/ч, а против течения — $19-x$ км/ч.

Время движения по течению равно $\dfrac{176}{19+x}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{176}{19-x}$ ч. С учётом стоянки получаем уравнение:$$\dfrac{176}{19+x}+1+\dfrac{176}{19-x}=20$$

Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Первый велосипедист находился в пути на 28 минут меньше, то есть его время движения равно $t - \dfrac{28}{60}$ часа.

Сумма расстояний, пройденных велосипедистами, равна расстоянию между городами:$$10\left(t - \dfrac{28}{60}\right) + 30t = 286$$

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+3$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+3$$

Время движения второго велосипедиста на 3 часа больше времени движения первого.$$\frac{208}{x}-\frac{208}{x+3}=3$$

Пусть весь путь автомобиля равен $S$ км. Тогда каждая половина пути равна $\dfrac{S}{2}$ км.

Время движения на первой половине пути равно $t_1=\dfrac{S/2}{36}=\dfrac{S}{72}$ ч, а на второй половине — $t_2=\dfrac{S/2}{99}=\dfrac{S}{198}$ ч.

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 57 + 3 = 60\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$60\ \text{км/ч} = \frac{60 \cdot 1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности скоростей.$$v_{\text{отн}} = 93 - 3 = 90\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$90\ \text{км/ч} = \frac{90}{3{,}6} = 25\ \text{м/с}$$

Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+6$ км/ч.

За один час первый бегун пробежал $x$ км, и ему оставалось 4 км до конца круга. Значит, длина круга равна $x+4$ км.

Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Первый велосипедист сделал остановку продолжительностью 56 минут, то есть $\dfrac{56}{60}=\dfrac{14}{15}$ часа. Поэтому первый велосипедист двигался $t-\dfrac{14}{15}$ часа.$$t-\dfrac{14}{15}$$

Расстояние, пройденное первым велосипедистом, равно $13\left(t-\dfrac{14}{15}\right)$ км, а расстояние, пройденное вторым велосипедистом, равно $15t$ км. Их сумма составляет расстояние между городами.$$13\left(t-\dfrac{14}{15}\right)+15t=182$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго автомобиля равна $x-20$ км/ч.

Время движения первого автомобиля равно $\dfrac{480}{x}$ ч, а второго — $\dfrac{480}{x-20}$ ч. По условию второй автомобиль находился в пути на 2 часа дольше:$$\dfrac{480}{x-20}-\dfrac{480}{x}=2$$

Пусть первый рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда второй рабочий делает $x - 9$ деталей в час.

Время выполнения заказа первым рабочим равно $\dfrac{216}{x}$ часов, а вторым — $\dfrac{216}{x-9}$ часов. По условию второй рабочий тратит на 4 часа больше:$$\dfrac{216}{x-9} - \dfrac{216}{x} = 4$$

Переведём время остановки в часы: $36$ минут — это $0{,}6$ часа. Пусть $t$ — время от начала движения до встречи.

Второй велосипедист двигался $t$ часов и проехал $10t$ км. Первый велосипедист двигался на $0{,}6$ часа меньше и проехал $28(t - 0{,}6)$ км.

Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна $15+x$ км/ч, а против течения — $15-x$ км/ч.$$v_{\text{по течению}}=15+x,\quad v_{\text{против течения}}=15-x$$

Время движения по течению и против течения вместе со стоянкой составляет 32 часа. Поэтому время движения без стоянки равно $32-11=21$ час.$$\dfrac{140}{15+x}+\dfrac{140}{15-x}=21$$

Пусть скорость второго велосипедиста равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+14$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{140}{x}$ часов, а первого — $\dfrac{140}{x+14}$ часов. По условию первый затратил на 5 часов меньше:$$\frac{140}{x}-\frac{140}{x+14}=5$$

Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-2$ км/ч, а по течению — $x+2$ км/ч.

Время движения против течения равно $\dfrac{297}{x-2}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{297}{x+2}$ часов. По условию обратный путь занял на 3 часа меньше:$$\dfrac{297}{x-2}-\dfrac{297}{x+2}=3$$

Найдём время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{500}{100} = 5\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{100}{50} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{165}{55} = 3\ \text{ч}$$

Определим общий путь и общее время движения.$$S = 500 + 100 + 165 = 765\ \text{км},\quad t = 5 + 2 + 3 = 10\ \text{ч}$$

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в неподвижной воде. Тогда скорость теплохода по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.

Стоянка длилась 5 часов, поэтому на движение теплоход затратил $23-5=18$ часов.