Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.$$x>5$$

Время движения по течению и против течения в сумме составляет 10 часов.$$\dfrac{88}{x+5}+\dfrac{72}{x-5}=10$$

Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+6$ литров в минуту.

Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{140}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{140}{x+6}$ минут.

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+30$ км/ч.

Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{540}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{540}{x+30}$ ч. По условию второй автомобиль находился в пути на 3 ч дольше.$$\dfrac{540}{x} - \dfrac{540}{x+30} = 3$$

Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а длина всего пути — $S$ км. Тогда время движения первого автомобиля равно:$$t_1=\dfrac{S}{x}$$

Скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $x-8$ км/ч, поэтому время прохождения этой половины пути составляет $\dfrac{S}{2(x-8)}$. Время прохождения второй половины пути со скоростью 90 км/ч равно $\dfrac{S}{180}$.

Пусть скорость первого бегуна равна $v$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $v+11$ км/ч.

За один час первый бегун пробежал $v$ км, и ему оставалось ещё 4 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $v+4$ км.$$L=v+4$$

Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+13$ деталей в час.

Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{208}{x}$ часов, а первым — $\dfrac{208}{x+13}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 8 часов меньше:$$\dfrac{208}{x}-\dfrac{208}{x+13}=8$$

Обозначим весь путь автомобиля через $S$. Тогда каждый из двух участков имеет длину $\frac{S}{2}$.

Время движения на первом участке равно $t_1=\frac{S}{2\cdot84}$, а на втором участке — $t_2=\frac{S}{2\cdot108}$.

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 63 - 3 = 60\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$60\ \text{км/ч} = 60 \cdot \frac{1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности их скоростей.$$v_{\text{отн}} = 44 - 4 = 40\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$40\ \text{км/ч} = \frac{40 \cdot 1000}{3600} = \frac{100}{9}\ \text{м/с}$$

Обозначим длину каждой половины пути через $S$. Тогда весь путь равен $2S$.

Время движения на первой половине пути равно $t_1 = \dfrac{S}{69}$, а на второй половине — $t_2 = \dfrac{S}{111}$.

Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме скоростей.$$v_{\text{сбл}}=75+3=78\ \text{км/ч}$$

Переведём скорость сближения в метры в секунду.$$78\ \text{км/ч}=\frac{78}{3{,}6}=\frac{65}{3}\ \text{м/с}$$

Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.$$x=\text{концентрация первого раствора},\quad y=\text{концентрация второго раствора}$$

При смешивании всех растворов масса кислоты составляет $81\%$ от общей массы 50 кг.$$30x+20y=50\cdot0{,}81=40{,}5$$

Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.

Время движения по течению равно $\dfrac{64}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{48}{x-5}$ ч. По условию сумма этих времён равна 8 ч.$$\dfrac{64}{x+5}+\dfrac{48}{x-5}=8$$

Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности скоростей:$$v_{\text{отн}} = 183 - 3 = 180\ \text{км/ч}$$

Переведём относительную скорость в метры в секунду:$$180\ \text{км/ч} = \frac{180}{3{,}6} = 50\ \text{м/с}$$

Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+5$ км/ч.

Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{180}{x}$ часов, а время движения первого — $\dfrac{180}{x+5}$ часов. По условию второй велосипедист ехал на 3 часа дольше.$$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+5}=3$$

Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+20$ км/ч.

Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{600}{x}$ ч, а время движения первого — $\dfrac{600}{x+20}$ ч. По условию второй автомобиль был в пути на 1 час дольше:$$\dfrac{600}{x} - \dfrac{600}{x+20} = 1$$

Переведём скорость поезда в метры в секунду:$$26\ \text{км/ч}=26\cdot\frac{1000}{3600}=\frac{65}{9}\ \text{м/с}$$

Пешеход и поезд движутся навстречу друг другу, поэтому скорость их сближения равна сумме скоростей:$$v_{\text{сбл}}=\frac{65}{9}+4=\frac{101}{9}\ \text{м/с}$$

В свежих фруктах сухие вещества составляют $100\%-86\%=14\%$.$$396\cdot0{,}14=55{,}44\text{ кг}$$

Масса сухих веществ при сушке не изменяется. В высушенных фруктах сухие вещества составляют $100\%-23\%=77\%$.$$0{,}77x=55{,}44$$

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. Время, за которое плот проплыл 30 км:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{30}{5}=6\text{ ч}$$

Лодка отправилась через час после плота, поэтому она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=6-1=5\text{ ч}$$

Найдём время движения автомобиля на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{160}{80} = 2\text{ ч},\quad t_2 = \dfrac{100}{50} = 2\text{ ч},\quad t_3 = \dfrac{360}{90} = 4\text{ ч}$$

Определим общий путь и общее время движения.$$S = 160 + 100 + 360 = 620\text{ км},\quad t = 2 + 2 + 4 = 8\text{ ч}$$