Решите систему уравнений $\begin{cases}4x^2-3x=y,\\8x-6=y.\end{cases}$
- 1
Приравняем выражения, равные $y$:$$4x^2-3x=8x-6$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и решим квадратное уравнение:$$4x^2-11x+6=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите уравнение $(x-1)^4-2(x-1)^2-3=0$.
- 1
Введём замену переменной $t=(x-1)^2$. Тогда исходное уравнение примет вид:$$t^2-2t-3=0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(t-3)(t+1)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите неравенство.
- 1
В условии указано только требование решить неравенство, но само неравенство отсутствует.
- 2
Без исходной формулы невозможно выполнить преобразования, определить ОДЗ и записать множество решений.
Решите систему уравнений $\begin{cases}3x^2+2y^2=50,\\12x^2+8y^2=50x.\end{cases}$
- 1
Умножим первое уравнение на 4. Его левая часть совпадёт с левой частью второго уравнения, поэтому правые части также должны быть равны:$$4\cdot50=50x$$
- 2
Найдём значение $x$:$$x=\frac{200}{50}=4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите уравнение $x^2 - 3x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 10$.
- 1
Найдём область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$$3 - x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 3$$
- 2
Сократим одинаковые слагаемые $\sqrt{3 - x}$ в левой и правой частях уравнения.$$x^2 - 3x = 10$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Решите уравнение $x^2 - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35$.
- 1
Область допустимых значений определяется условием существования арифметического корня:$$6 - x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 6$$
- 2
Сократим одинаковые слагаемые в левой и правой частях уравнения:$$x^2 - 2x = 35$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Решите неравенство. Формула неравенства в исходных материалах не отображается.
- 1
В условии отсутствует запись неравенства, поэтому невозможно определить его область допустимых значений, критические точки и множество решений.
- 2
Для получения точного ответа необходимо предоставить формулу неравенства.
Решите уравнение $x^2 - 2x + \sqrt{4 - x} = \sqrt{4 - x} + 15$.
- 1
Найдём область допустимых значений: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.$$4 - x \geq 0,\quad x \leq 4$$
- 2
Сократим одинаковые слагаемые в левой и правой частях уравнения.$$x^2 - 2x = 15$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Решите систему уравнений $\begin{cases} 2x^2+3y^2=11, \\ 4x^2+6y^2=11x. \end{cases}$
- 1
Умножим первое уравнение на $2$ и сравним его со вторым уравнением.$$4x^2+6y^2=22$$
- 2
Левые части полученного уравнения и второго уравнения совпадают, поэтому равны и их правые части.$$22=11x$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите систему уравнений $\begin{cases} 2x^2 - 5x = y, \\ 2x - 5 = y. \end{cases}$
- 1
Приравняем выражения, равные $y$:$$2x^2 - 5x = 2x - 5$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и решим квадратное уравнение:$$2x^2 - 7x + 5 = 0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Решите уравнение $x(x^2+2x+1)=2(x+1)$.
- 1
Преобразуем квадратный трёхчлен в левой части:$$x(x+1)^2=2(x+1)$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель $x+1$:$$x(x+1)^2-2(x+1)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 112 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 9 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда скорость на пути из В в А равна $x+9$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В равно $\dfrac{112}{x}$ ч. Время движения из В в А без остановки равно $\dfrac{112}{x+9}$ ч.
Ещё 5 шагов — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставался 1 км до окончания первого…
- 1
Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+5$ км/ч.
- 2
Через один час первому бегуну оставался $1$ км до конца круга, поэтому длина круга равна $x+1$ км.
Ещё 4 шага — в полном решении
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 2 минуты, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Первый велосипедист находился в движении на 2 минуты меньше, то есть $t - \dfrac{2}{60}$ часа.
- 2
Расстояние, пройденное первым велосипедистом, равно $16\left(t - \dfrac{2}{60}\right)$ км, а вторым — $30t$ км. Их сумма равна расстоянию между городами:$$16\left(t - \dfrac{2}{60}\right) + 30t = 277$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x - 3$ км/ч, а по течению — $x + 3$ км/ч.
- 2
Время движения против течения равно $\dfrac{72}{x-3}$ ч, а время движения по течению — $\dfrac{72}{x+3}$ ч. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:$$\dfrac{72}{x-3} - \dfrac{72}{x+3} = 2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого…
- 1
Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $(x + 10)$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун пробежал $x$ км. Так как до конца первого круга ему оставалось 4 км, длина круга равна $x + 4$ км.
Ещё 4 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправляются в 100-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 15 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 6 часов раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+15$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{100}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{100}{x+15}$ ч. По условию второй затратил на 6 часов больше:$$\dfrac{100}{x} - \dfrac{100}{x+15} = 6$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью 72 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а весь путь — $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $x+10$ км/ч.$$v_1=x,\quad v_2=x+10$$
- 2
Запишем время движения каждого автомобиля. По условию времена равны.$$\frac{S}{x}=\frac{S/2}{72}+\frac{S/2}{x+10}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда время движения из А в В составляет:$$t_1=\dfrac{209}{x}$$
- 2
На обратном пути скорость равна $x+8$ км/ч, поэтому время движения без остановки составляет $\dfrac{209}{x+8}$. С учётом остановки общее время равно:$$t_2=\dfrac{209}{x+8}+8$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 200 литров она заполняет на 2 минуты дольше…
- 1
Пусть первая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда вторая труба пропускает $x+5$ литров в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара первой трубой равно $\dfrac{200}{x}$ минут, а второй трубой — $\dfrac{200}{x+5}$ минут.
Ещё 4 шага — в полном решении