Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Решение неравенства

Решите неравенство.

1. 1
   В распознанном тексте и на изображении присутствует только указание «Решите неравенство», но сама формула не отображается.
2. 2
   Без записи неравенства невозможно определить область допустимых значений, выполнить преобразования и найти ответ.

Решение дробно-рационального уравнения

Решите уравнение $\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x} - 4 = 0$.

1. 1
   Запишем область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль.$$x \ne 0$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на $x^2$. Это допустимо при $x \ne 0$.$$1 - 3x - 4x^2 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение дробно-рационального уравнения

Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{x-2}-6=0$.

1. 1
   Найдём область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2$$
2. 2
   Введём замену $t=\dfrac{1}{x-2}$. Тогда исходное уравнение примет вид:$$t^2-t-6=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение неравенства

Решите неравенство.

1. 1
   В предоставленном изображении формула неравенства отсутствует, поэтому выполнить преобразования и определить множество решений невозможно.

Решение неравенства

Решите неравенство.

1. 1
   На предоставленном изображении указано только требование решить неравенство; само неравенство не приведено.
2. 2
   Поэтому определить область допустимых значений, выполнить преобразования и записать ответ невозможно.

Решение дробно-рационального уравнения

Решите уравнение $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{x}-12=0$.

1. 1
   Определим область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x \ne 0$$
2. 2
   Умножим исходное уравнение на $x^2$, так как $x \ne 0$.$$1+4x-12x^2=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение неравенства

Решите неравенство.

1. 1
   На предоставленном изображении виден только текст «Решите неравенство»; само математическое выражение не отображается.
2. 2
   Без исходного неравенства невозможно определить область допустимых значений, критические точки и множество решений.

Решение системы уравнений

Решите систему уравнений $$\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}$$

1. 1
   Сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.$$x^2+y+6x^2-y=5+2$$
2. 2
   Решим полученное уравнение относительно $x$.$$7x^2=7 \Longrightarrow x^2=1 \Longrightarrow x=\pm1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение неравенства

Решите неравенство.

1. 1
   Решение невозможно выполнить, поскольку в предоставленном тексте и на изображении отсутствует формула неравенства.

Решение системы уравнений

Решите систему уравнений: $\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}$

1. 1
   Приравняем выражения, равные $y$:$$4x^2-5x=8x-10$$
2. 2
   Перенесём все слагаемые в левую часть:$$4x^2-13x+10=0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение системы уравнений

Решите систему уравнений $\left\{\begin{aligned}3x^2+2y^2&=45,\\9x^2+6y^2&=45x.\end{aligned}\right.$

1. 1
   Левая часть второго уравнения в три раза больше левой части первого уравнения. Поэтому, используя первое уравнение, получаем:$$9x^2+6y^2=3(3x^2+2y^2)=3\cdot45=135$$
2. 2
   Сравним это равенство со вторым уравнением системы:$$45x=135$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение биквадратного уравнения

Решите уравнение $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$.

1. 1
   Выполним замену $t=(x+2)^2$. Так как квадрат неотрицателен, $t\geqslant 0$.$$t^2-4t-5=0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(t-5)(t+1)=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение системы уравнений

Решите систему уравнений $\begin{cases} 3x^2 - 4x = y, \\ 3x - 4 = y. \end{cases}$

1. 1
   Приравняем левые части уравнений системы, поскольку обе они равны $y$.$$3x^2 - 4x = 3x - 4$$
2. 2
   Перенесём все слагаемые в левую часть и решим квадратное уравнение.$$3x^2 - 7x + 4 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение кубического уравнения

Решите уравнение $x(x^2+2x+1)=6(x+1)$.

1. 1
   Разложим выражение в левой части и перенесём всё в левую часть уравнения.$$x(x+1)^2-6(x+1)=0$$
2. 2
   Вынесем общий множитель $x+1$ за скобки.$$(x+1)(x(x+1)-6)=0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение системы уравнений

Решите систему уравнений: $\begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 21, \\ 6x^2 + 9y^2 = 21x. \end{cases}$

1. 1
   Умножим первое уравнение системы на $3$:$$6x^2 + 9y^2 = 63$$
2. 2
   Сравнивая полученное уравнение со вторым уравнением системы, получаем:$$21x = 63$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Уравнение с четвёртой степенью

Решите уравнение $(x - 3)^4 - 3(x - 3)^2 - 10 = 0$.

1. 1
   Выполним замену переменной: $t = (x - 3)^2$. Тогда исходное уравнение примет вид$$t^2 - 3t - 10 = 0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни квадратного уравнения:$$(t - 5)(t + 2) = 0,\quad t_1 = 5,\quad t_2 = -2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решение биквадратного уравнения

Решите уравнение $x^4=(3x-10)^2$.

1. 1
   Представим левую часть как квадрат выражения $x^2$ и применим свойство равенства квадратов.$$x^4=(x^2)^2$$
2. 2
   Получаем совокупность двух уравнений:$$x^2=3x-10 \quad\text{или}\quad x^2=-(3x-10)$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение кубического уравнения

Решите уравнение $x(x^2 + 4x + 4) = 3(x + 2)$.

1. 1
   Разложим квадратный трёхчлен в левой части:$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$
2. 2
   Перенесём всё в одну часть и вынесем общий множитель:$$x(x + 2)^2 - 3(x + 2) = 0$$

Ещё 4 шага — в полном решении

Решение рационального уравнения

Решите уравнение $(x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)$.

1. 1
   Разложим квадратный трёхчлен и вынесем общий множитель $x + 3$:$$(x - 1)(x + 3)^2 = 5(x + 3)$$
2. 2
   Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:$$(x + 3)((x - 1)(x + 3) - 5) = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение биквадратного уравнения

Решите уравнение $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.

1. 1
   Введём замену переменной $t=(x+2)^2$. Тогда исходное уравнение примет вид$$t^2+t-12=0$$
2. 2
   Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни:$$(t-3)(t+4)=0,\quad t=3\ \text{или}\ t=-4$$

Ещё 2 шага — в полном решении