20
Решение: Решение дробно-рационального уравнения
ОГЭ · Математика · Задание 20 · Решение уравнений
ПовышеннаяФИПИ758215Развёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 6 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
6 шагов1
Найдём область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.
$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2$$2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-2}$. Тогда исходное уравнение примет вид:
$$t^2-t-6=0$$3
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём значения $t$.
$$(t-3)(t+2)=0,\quad t_1=3,\quad t_2=-2$$4
Вернёмся к переменной $x$. При $t=3$ получаем:
$$\dfrac{1}{x-2}=3,\quad x-2=\dfrac{1}{3},\quad x=\dfrac{7}{3}$$5
При $t=-2$ получаем:
$$\dfrac{1}{x-2}=-2,\quad x-2=-\dfrac{1}{2},\quad x=\dfrac{3}{2}$$Оба найденных значения не нарушают область допустимых значений $x\ne 2$.
Ответ
x=\dfrac{3}{2};\ x=\dfrac{7}{3}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne 2$.
При замене $t=\dfrac{1}{x-2}$ ошибочно записывают линейное, а не квадратное уравнение.
Теряют один из корней квадратного уравнения $t^2-t-6=0$.