181ФИПИ 7CB2F7№ 20Повышенная Решите систему уравнений $$\begin{cases}x^2+y=5,\\6x^2-y=2.\end{cases}$$
- 1
Сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.$$x^2+y+6x^2-y=5+2$$
- 2
Решим полученное уравнение относительно $x$.$$7x^2=7 \Longrightarrow x^2=1 \Longrightarrow x=\pm1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
182ФИПИ 801B6A№ 20Повышенная Решите систему уравнений: $\begin{cases}4x^2-5x=y,\\8x-10=y.\end{cases}$
- 1
Приравняем выражения, равные $y$:$$4x^2-5x=8x-10$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть:$$4x^2-13x+10=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
183ФИПИ 817AD0№ 20Повышенная Решите систему уравнений $\left\{\begin{aligned}3x^2+2y^2&=45,\\9x^2+6y^2&=45x.\end{aligned}\right.$
- 1
Левая часть второго уравнения в три раза больше левой части первого уравнения. Поэтому, используя первое уравнение, получаем:$$9x^2+6y^2=3(3x^2+2y^2)=3\cdot45=135$$
- 2
Сравним это равенство со вторым уравнением системы:$$45x=135$$
Ещё 4 шага — в полном решении
184ФИПИ 8941C2№ 20Повышенная Решите уравнение $(x+2)^4-4(x+2)^2-5=0$.
- 1
Выполним замену $t=(x+2)^2$. Так как квадрат неотрицателен, $t\geqslant 0$.$$t^2-4t-5=0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(t-5)(t+1)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
185ФИПИ 8E6FA9№ 20Повышенная Решите систему уравнений $\begin{cases} 3x^2 - 4x = y, \\ 3x - 4 = y. \end{cases}$
- 1
Приравняем левые части уравнений системы, поскольку обе они равны $y$.$$3x^2 - 4x = 3x - 4$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и решим квадратное уравнение.$$3x^2 - 7x + 4 = 0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
186ФИПИ 8FB942№ 20Повышенная Решите уравнение $x(x^2+2x+1)=6(x+1)$.
- 1
Разложим выражение в левой части и перенесём всё в левую часть уравнения.$$x(x+1)^2-6(x+1)=0$$
- 2
Вынесем общий множитель $x+1$ за скобки.$$(x+1)(x(x+1)-6)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
187ФИПИ 9102C8№ 20Повышенная Решите систему уравнений: $\begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 21, \\ 6x^2 + 9y^2 = 21x. \end{cases}$
- 1
Умножим первое уравнение системы на $3$:$$6x^2 + 9y^2 = 63$$
- 2
Сравнивая полученное уравнение со вторым уравнением системы, получаем:$$21x = 63$$
Ещё 4 шага — в полном решении
188ФИПИ 93098E№ 20Повышенная Решите уравнение $(x - 3)^4 - 3(x - 3)^2 - 10 = 0$.
- 1
Выполним замену переменной: $t = (x - 3)^2$. Тогда исходное уравнение примет вид$$t^2 - 3t - 10 = 0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни квадратного уравнения:$$(t - 5)(t + 2) = 0,\quad t_1 = 5,\quad t_2 = -2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
189ФИПИ 94AF92№ 20Повышенная Решите уравнение $x^4=(3x-10)^2$.
- 1
Представим левую часть как квадрат выражения $x^2$ и применим свойство равенства квадратов.$$x^4=(x^2)^2$$
- 2
Получаем совокупность двух уравнений:$$x^2=3x-10 \quad\text{или}\quad x^2=-(3x-10)$$
Ещё 3 шага — в полном решении
190ФИПИ 984D22№ 20Повышенная Решите уравнение $x(x^2 + 4x + 4) = 3(x + 2)$.
- 1
Разложим квадратный трёхчлен в левой части:$$x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$$
- 2
Перенесём всё в одну часть и вынесем общий множитель:$$x(x + 2)^2 - 3(x + 2) = 0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
191ФИПИ 9947F1№ 20Повышенная Решите уравнение $(x - 1)(x^2 + 6x + 9) = 5(x + 3)$.
- 1
Разложим квадратный трёхчлен и вынесем общий множитель $x + 3$:$$(x - 1)(x + 3)^2 = 5(x + 3)$$
- 2
Перенесём всё в левую часть и разложим на множители:$$(x + 3)((x - 1)(x + 3) - 5) = 0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
192ФИПИ 9C0922№ 20Повышенная Решите уравнение $(x+2)^4+(x+2)^2-12=0$.
- 1
Введём замену переменной $t=(x+2)^2$. Тогда исходное уравнение примет вид$$t^2+t-12=0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни:$$(t-3)(t+4)=0,\quad t=3\ \text{или}\ t=-4$$
Ещё 2 шага — в полном решении
193ФИПИ A69BB1№ 20Повышенная Решите уравнение $x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 40$.
- 1
Область допустимых значений определяется условием неотрицательности подкоренного выражения:$$6 - x \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad x \leq 6$$
- 2
В исходном уравнении одинаковые слагаемые $\sqrt{6 - x}$ стоят в обеих частях, поэтому их можно сократить:$$x^2 - 3x = 40$$
Ещё 3 шага — в полном решении
194ФИПИ AF0F2A№ 20Повышенная Решите систему уравнений: $\begin{cases} 5x^2 - 9x = y, \\ 5x - 9 = y. \end{cases}$
- 1
Приравняем правые части уравнений системы:$$5x^2 - 9x = 5x - 9$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и решим квадратное уравнение:$$5x^2 - 14x + 9 = 0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
195ФИПИ AF5B2C№ 20Повышенная Решите уравнение $(x - 2)(x^2 + 6x + 9) = 6(x + 3)$.
- 1
Представим квадратный трёхчлен как полный квадрат:$$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и вынесем общий множитель $x + 3$:$$(x - 2)(x + 3)^2 - 6(x + 3) = 0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
196ФИПИ B5C26E№ 20Повышенная Решите систему уравнений $\begin{cases} x^2 + y = 7, \\ 2x^2 - y = 5. \end{cases}$
- 1
Сложим уравнения системы, чтобы исключить переменную $y$.$$x^2+y+2x^2-y=7+5$$
- 2
Решим получившееся уравнение относительно $x$.$$3x^2=12,\quad x^2=4,\quad x=\pm2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
197ФИПИ BA23E9№ 20Повышенная Решите уравнение $x^4=(x-20)^2$.
- 1
Запишем левую часть уравнения как квадрат выражения $x^2$:$$(x^2)^2=(x-20)^2$$
- 2
Рассмотрим два возможных равенства квадратных корней:$$x^2=x-20 \quad \text{или} \quad x^2=-(x-20)$$
Ещё 4 шага — в полном решении
198ФИПИ C0319F№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-3)^2}-\dfrac{3}{x-3}-4=0$.
- 1
Определим область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю.$$x-3\ne 0,\quad x\ne 3$$
- 2
Введём замену переменной.$$t=\dfrac{1}{x-3}$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
199ФИПИ C1DBE5№ 20Повышенная Решите уравнение $x^2 - 2x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 24$.
- 1
Найдём область допустимых значений переменной. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:$$5 - x \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \leq 5$$
- 2
Вычтем из обеих частей уравнения одинаковое слагаемое $\sqrt{5 - x}$:$$x^2 - 2x = 24$$
Ещё 3 шага — в полном решении
200ФИПИ C63018№ 20Повышенная Решите уравнение $(x - 2)(x^2 + 2x + 1) = 4(x + 1)$.
- 1
Представим квадратный трёхчлен как квадрат двучлена:$$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$$
- 2
Перенесём правую часть в левую и вынесем общий множитель $x + 1$:$$(x - 2)(x + 1)^2 - 4(x + 1) = 0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении