161ФИПИ 4FB09D№ 20Повышенная Решите уравнение $x^4=(2x-8)^2$.
- 1
Перенесём выражения в одну сторону и воспользуемся формулой разности квадратов:$$x^4-(2x-8)^2=0$$
- 2
Разложим разность квадратов на множители:$$(x^2-2x+8)(x^2+2x-8)=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
162ФИПИ 50AC99№ 20Повышенная Решите систему уравнений $\begin{cases}2x^2+4y^2=24,\\4x^2+8y^2=24x.\end{cases}$
- 1
Левая часть второго уравнения в два раза больше левой части первого. Поэтому правая часть второго уравнения должна быть в два раза больше правой части первого:$$24x=2\cdot24$$
- 2
Находим значение переменной $x$:$$x=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
163ФИПИ 52CAF6№ 20Повышенная Решите уравнение $x^3 + 5x^2 = 9x + 45$.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения:$$x^3 + 5x^2 - 9x - 45 = 0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель в каждой группе:$$x^2(x+5)-9(x+5)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
164ФИПИ 541E78№ 20Повышенная Решите уравнение $(x - 1)(x^2 + 8x + 16) = 6(x + 4)$.
- 1
Разложим квадратный трёхчлен в левой части:$$x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$$
- 2
Подставим полученное выражение и перенесём всё в левую часть:$$(x - 1)(x + 4)^2 - 6(x + 4) = 0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
165ФИПИ 546FEF№ 20Повышенная Решите систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 25, \\ 3x^2 + 12y^2 = 25x. \end{cases}$
- 1
Умножим первое уравнение системы на $3$:$$3x^2 + 12y^2 = 75$$
- 2
Сравнивая полученное уравнение со вторым уравнением системы, получаем:$$25x = 75$$
Ещё 4 шага — в полном решении
166ФИПИ 571126№ 20Повышенная Решите уравнение $$(x+3)^4+2(x+3)^2-8=0.$$
- 1
Выполним замену переменной: $t=(x+3)^2$. Поскольку квадрат неотрицателен, $t\geqslant 0$.$$t^2+2t-8=0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём корни.$$(t+4)(t-2)=0;\quad t_1=-4,\ t_2=2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
167ФИПИ 5A9DFE№ 20Повышенная Решите систему уравнений $\begin{cases}5x^2+y^2=36,\\10x^2+2y^2=36x.\end{cases}$
- 1
Умножим первое уравнение на $2$:$$10x^2+2y^2=72$$
- 2
Сравнивая полученное уравнение со вторым уравнением системы, получаем:$$36x=72,\quad x=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
168ФИПИ 5AAE7A№ 20Повышенная Решите уравнение $x^3 + 5x^2 = 4x + 20$.
- 1
Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения.$$x^3 + 5x^2 - 4x - 20 = 0$$
- 2
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель.$$x^2(x+5)-4(x+5)=0$$
Ещё 2 шага — в полном решении
169ФИПИ 5D3C80№ 20Повышенная Решите уравнение $\left(x^2 - 4\right)^2 + \left(x^2 - 6x - 16\right)^2 = 0$.
- 1
Квадраты действительных чисел неотрицательны. Поэтому сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если каждый квадрат равен нулю.$$\begin{cases}x^2 - 4 = 0,\\x^2 - 6x - 16 = 0.\end{cases}$$
- 2
Решим первое уравнение:$$x^2 - 4 = 0 \Longrightarrow (x-2)(x+2)=0 \Longrightarrow x=2 \text{ или } x=-2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
170ФИПИ 5DDDE2№ 20Повышенная Решите уравнение $(x+1)^4+(x+1)^2-6=0$.
- 1
Введём замену переменной $t=(x+1)^2$. Тогда $(x+1)^4=t^2$, и исходное уравнение принимает вид:$$t^2+t-6=0$$
- 2
Разложим квадратный трёхчлен на множители:$$(t+3)(t-2)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
171ФИПИ 5EA9CF№ 20Повышенная Решите систему уравнений: $\begin{cases}5x^2-11x=y,\\5x-11=y.\end{cases}$
- 1
Приравняем правые части уравнений системы, поскольку обе они равны $y$.$$5x^2-11x=5x-11$$
- 2
Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём подобные слагаемые.$$5x^2-16x+11=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
172ФИПИ 605EEE№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{4}{x-1}-12=0$.
- 1
ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $x\ne1$.
- 2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=t^2$, и получаем квадратное уравнение.$$t^2+4t-12=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
173ФИПИ 61F9E5№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-1)^2}+\dfrac{3}{x-1}-10=0$.
- 1
ОДЗ исходного уравнения: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne1$.$$x\ne1$$
- 2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=t^2$, и получаем квадратное уравнение.$$t^2+3t-10=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
174ФИПИ 681B15№ 20Повышенная Решите уравнение $\left(x^2-25\right)^2+\left(x^2+2x-15\right)^2=0$.
- 1
Сумма квадратов действительных выражений равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю.$$\left\{\begin{aligned}x^2-25&=0,\\x^2+2x-15&=0.\end{aligned}\right.$$
- 2
Из первого уравнения получаем два значения переменной.$$x^2=25 \Rightarrow x=5 \text{ или } x=-5$$
Ещё 2 шага — в полном решении
175ФИПИ 6BB1B0№ 20Повышенная Решите систему уравнений $\begin{cases} 6x^2 + y = 14, \\ 12x^2 - y = 4. \end{cases}$
- 1
Сложим уравнения системы почленно, чтобы исключить $y$.$$(6x^2+y)+(12x^2-y)=14+4$$
- 2
Решим полученное уравнение относительно $x$.$$18x^2=18,\quad x^2=1,\quad x=1\ \text{или}\ x=-1$$
Ещё 2 шага — в полном решении
176ФИПИ 7033CA№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} - 6 = 0$.
- 1
Определим область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль.$$x \ne 0$$
- 2
Умножим обе части уравнения на $x^2$. Это допустимо, поскольку $x \ne 0$.$$1 - x - 6x^2 = 0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
177ФИПИ 727066№ 20Повышенная Решите уравнение $x^4 = (2x - 15)^2$.
- 1
Перенесём правую часть в левую и применим формулу разности квадратов.$$x^4-(2x-15)^2=0$$
- 2
Разложим выражение на множители.$$\left(x^2-(2x-15)\right)\left(x^2+(2x-15)\right)=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
178ФИПИ 74F954№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{x^2} - \dfrac{3}{x} - 4 = 0$.
- 1
Запишем область допустимых значений: знаменатели не должны обращаться в ноль.$$x \ne 0$$
- 2
Умножим обе части уравнения на $x^2$. Это допустимо при $x \ne 0$.$$1 - 3x - 4x^2 = 0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
179ФИПИ 758215№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{(x-2)^2}-\dfrac{1}{x-2}-6=0$.
- 1
Найдём область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2$$
- 2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-2}$. Тогда исходное уравнение примет вид:$$t^2-t-6=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
180ФИПИ 7A30BC№ 20Повышенная Решите уравнение $\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{4}{x}-12=0$.
- 1
Определим область допустимых значений: знаменатель не должен обращаться в ноль.$$x \ne 0$$
- 2
Умножим исходное уравнение на $x^2$, так как $x \ne 0$.$$1+4x-12x^2=0$$
Ещё 3 шага — в полном решении