20
Решение: Рациональное уравнение
ОГЭ · Математика · Задание 20 · Решение уравнений
ПовышеннаяФИПИ605EEEРазвёрнутое решение≈ 5 минутРазбор в 6 шагов
Дальше ответЕсли ещё решаете — начните с подсказок: они ведут к ответу, но не выдают его.
К подсказкамРешение по шагам
6 шагов1
ОДЗ: знаменатели не должны обращаться в ноль, поэтому $x\ne1$.
2
Введём замену $t=\dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=t^2$, и получаем квадратное уравнение.
$$t^2+4t-12=0$$3
Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём значения переменной $t$.
$$(t-2)(t+6)=0,\quad t_1=2,\quad t_2=-6$$4
При $t=2$ решаем уравнение $\dfrac{1}{x-1}=2$.
$$x-1=\dfrac{1}{2},\quad x=\dfrac{3}{2}$$5
При $t=-6$ решаем уравнение $\dfrac{1}{x-1}=-6$.
$$x-1=-\dfrac{1}{6},\quad x=\dfrac{5}{6}$$Оба найденных значения не нарушают ОДЗ.
Ответ
$x=\dfrac{5}{6}$ или $x=\dfrac{3}{2}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указать ограничение $x\ne1$.
Неверно преобразовать выражение $\dfrac{1}{(x-1)^2}$ при введении замены.
Потерять один из корней квадратного уравнения.
Ошибиться при переходе от $\dfrac{1}{x-1}=t$ к значению $x$.