Решение: Рациональное уравнение с заменой
Решение по шагам
6 шаговОДЗ исходного уравнения: знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому $x\ne1$.
$$x\ne1$$Введём замену $t=\dfrac{1}{x-1}$. Тогда $\dfrac{1}{(x-1)^2}=t^2$, и получаем квадратное уравнение.
$$t^2+3t-10=0$$Разложим квадратный трёхчлен на множители и найдём значения новой переменной.
$$(t+5)(t-2)=0,\quad t=-5\ или\ t=2$$При $t=2$ имеем $\dfrac{1}{x-1}=2$, откуда $x-1=\dfrac12$ и $x=\dfrac32$.
$$x=1+\dfrac12=\dfrac32$$При $t=-5$ имеем $\dfrac{1}{x-1}=-5$, откуда $x-1=-\dfrac15$ и $x=\dfrac45$.
$$x=1-\dfrac15=\dfrac45$$Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ: они не равны $1$.
x=\dfrac45;\ \dfrac32
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают ограничение $x\ne1$.
При обратной замене ошибочно записывают $x-1=t$ вместо $x-1=\dfrac1t$.
Теряют один из корней квадратного уравнения относительно новой переменной.