Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 84 км/ч, а вторую — со скоростью 96 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть длина всего пути равна $2s$ км. Тогда каждая половина пути имеет длину $s$ км.$$S=2s$$
- 2
Время движения на первой половине пути равно $\dfrac{s}{84}$ ч, а на второй половине — $\dfrac{s}{96}$ ч. Поэтому всё время движения составляет$$t=\dfrac{s}{84}+\dfrac{s}{96}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 210 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-3$ км/ч, а скорость по течению — $x+3$ км/ч.
- 2
Время движения против течения составляет $\dfrac{210}{x-3}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{210}{x+3}$ часов.
Ещё 3 шага — в полном решении
Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 320 км — со скоростью 80 км/ч, а последние 140 км — со скоростью 35 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём весь путь автомобиля:$$S = 200 + 320 + 140 = 660\ \text{км}$$
- 2
Вычислим время движения на каждом участке:$$t_1 = \dfrac{200}{50} = 4\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{320}{80} = 4\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{140}{35} = 4\ \text{ч}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 221 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $x-4$ км/ч, а по течению — $x+4$ км/ч.$$x>4$$
- 2
Время движения против течения на 2 часа больше времени движения по течению, поэтому составим уравнение:$$\dfrac{221}{x-4}-\dfrac{221}{x+4}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Свежие фрукты содержат 87 % воды, а высушенные — 22 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 49 кг высушенных фруктов?
- 1
В свежих фруктах содержится $100\% - 87\% = 13\%$ сухого вещества, а в высушенных — $100\% - 22\% = 78\%$.$$0{,}13x = 0{,}78 \cdot 49$$
- 2
Масса сухого вещества в 49 кг высушенных фруктов равна:$$0{,}78 \cdot 49 = 38{,}22\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 42 км/ч, а вторую — со скоростью 48 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть весь путь автомобиля равен $S$ км. Тогда каждый из двух участков имеет длину $\dfrac{S}{2}$ км.
- 2
Время движения на первом участке равно $t_1 = \dfrac{S/2}{42} = \dfrac{S}{84}$ ч, а на втором участке $t_2 = \dfrac{S/2}{48} = \dfrac{S}{96}$ ч.
Ещё 2 шага — в полном решении
Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+10$ деталей в час.
- 2
Второй рабочий выполняет заказ за $\dfrac{60}{x}$ часов, а первый — за $\dfrac{60}{x+10}$ часов. По условию первый тратит на 3 часа меньше:$$\dfrac{60}{x}-\dfrac{60}{x+10}=3$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Первый рабочий за час делает на 9 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 112 деталей, на 4 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час…
- 1
Пусть второй рабочий делает $x$ деталей в час. Тогда первый рабочий делает $x+9$ деталей в час.
- 2
Время выполнения заказа вторым рабочим равно $\dfrac{112}{x}$ часов, а первым рабочим — $\dfrac{112}{x+9}$ часов. По условию первый рабочий тратит на 4 часа меньше:$$\dfrac{112}{x}-\dfrac{112}{x+9}=4$$
Ещё 4 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из В в А. Тогда скорость на пути из А в В равна $x-2$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В равно $\dfrac{224}{x-2}$ часов. Время обратного пути с учётом остановки равно $\dfrac{224}{x}+2$ часов.
Ещё 4 шага — в полном решении
Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Обозначим скорость лодки в неподвижной воде через $x$ км/ч. Тогда скорость лодки против течения равна $x-4$ км/ч, а по течению — $x+4$ км/ч.
- 2
Время движения против течения составляет $\dfrac{77}{x-4}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{77}{x+4}$ часов. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:$$\dfrac{77}{x-4}-\dfrac{77}{x+4}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов…
- 1
Обозначим через $x$ массу кислоты в первом растворе, а через $y$ — массу кислоты во втором растворе.
- 2
При смешивании всех растворов масса полученной кислоты составляет $33\%$ от $40+20=60$ кг.$$x+y=0{,}33\cdot 60=19{,}8$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 52 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч. При этом $x>5$.
- 2
Время движения по течению и против течения в сумме составляет 5 часов.$$\dfrac{52}{x+5}+\dfrac{48}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ кг кислоты содержится в первом растворе, а $y$ кг — во втором.$$x+y=0{,}73\cdot(40+30)=51$$
- 2
При смешивании всего содержимого сосудов масса кислоты равна $x+y$, поэтому из первого условия получаем первое уравнение.
Ещё 4 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 5 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В. Тогда скорость на обратном пути равна $x+5$ км/ч.
- 2
Время движения из А в В составляет $\dfrac{180}{x}$ часов. Обратный путь занял $\dfrac{180}{x+5}$ часов, а с учётом остановки — $\dfrac{180}{x+5}+3$ часа.
Ещё 5 шагов — в полном решении
Первые 105 км автомобиль ехал со скоростью 35 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 60 км/ч, а последние 500 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{105}{35} = 3\ \text{ч},\quad t_2 = \dfrac{120}{60} = 2\ \text{ч},\quad t_3 = \dfrac{500}{100} = 5\ \text{ч}$$
- 2
Весь путь равен сумме длин трёх участков, а всё время — сумме времён движения.$$S = 105 + 120 + 500 = 725\ \text{км},\quad t = 3 + 2 + 5 = 10\ \text{ч}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 42 км, затратив на весь путь 5 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть $x$ км/ч — собственная скорость баржи. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а скорость против течения — $x-5$ км/ч.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{48}{x+5}$ часов, а время движения против течения — $\dfrac{42}{x-5}$ часов. Составим уравнение для всего времени движения.$$\dfrac{48}{x+5}+\dfrac{42}{x-5}=5$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого…
- 1
Обозначим скорость первого бегуна через $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+5$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун прошёл $x$ км, и ему осталось 3 км до конца круга. Поэтому длина круга равна $x+3$ км.$$L=x+3$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 224 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 2 км/ч. По пути он сделал…
- 1
Пусть скорость велосипедиста на пути из А в В равна $x$ км/ч. Тогда время движения из А в В составляет $\dfrac{224}{x}$ часов.
- 2
На обратном пути скорость равна $x+2$ км/ч, поэтому время движения без остановки составляет $\dfrac{224}{x+2}$ часов. С учётом остановки общее время равно $\dfrac{224}{x+2}+2$.
Ещё 4 шага — в полном решении
Два велосипедиста одновременно отправляются в 224-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 2 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+2$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+2$$
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{224}{x}$ ч, а первого — $\dfrac{224}{x+2}$ ч. Первый прибыл на 2 часа раньше.$$\frac{224}{x}-\frac{224}{x+2}=2$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Свежие фрукты содержат 72 % воды, а высушенные — 26 %. Сколько сухих фруктов получится из 222 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах сухое вещество составляет $100\% - 72\% = 28\%$.$$100\% - 72\% = 28\%$$
- 2
Найдём массу сухого вещества в 222 кг свежих фруктов.$$222 \cdot 0{,}28 = 62{,}16\ \text{кг}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении