Имеются два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то…
- 1
Пусть $x$ — доля кислоты в первом растворе, а $y$ — доля кислоты во втором растворе.$$x=\text{концентрация первого раствора},\quad y=\text{концентрация второго раствора}$$
- 2
При смешивании всех растворов масса кислоты составляет $81\%$ от общей массы 50 кг.$$30x+20y=50\cdot0{,}81=40{,}5$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Баржа прошла по течению реки 64 км и, повернув обратно, прошла ещё 48 км, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
- 1
Пусть собственная скорость баржи равна $x$ км/ч. Тогда скорость баржи по течению равна $x+5$ км/ч, а против течения — $x-5$ км/ч.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{64}{x+5}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{48}{x-5}$ ч. По условию сумма этих времён равна 8 ч.$$\dfrac{64}{x+5}+\dfrac{48}{x-5}=8$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 183 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 13 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности скоростей:$$v_{\text{отн}} = 183 - 3 = 180\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду:$$180\ \text{км/ч} = \frac{180}{3{,}6} = 50\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два велосипедиста одновременно отправляются в 180-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 5 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+5$ км/ч.
- 2
Время движения второго велосипедиста равно $\dfrac{180}{x}$ часов, а время движения первого — $\dfrac{180}{x+5}$ часов. По условию второй велосипедист ехал на 3 часа дольше.$$\dfrac{180}{x}-\dfrac{180}{x+5}=3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два автомобиля одновременно отправляются в 600-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого…
- 1
Пусть скорость второго автомобиля равна $x$ км/ч. Тогда скорость первого автомобиля равна $x+20$ км/ч.
- 2
Время движения второго автомобиля равно $\dfrac{600}{x}$ ч, а время движения первого — $\dfrac{600}{x+20}$ ч. По условию второй автомобиль был в пути на 1 час дольше:$$\dfrac{600}{x} - \dfrac{600}{x+20} = 1$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 26 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 4 км/ч навстречу поезду, за 90 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Переведём скорость поезда в метры в секунду:$$26\ \text{км/ч}=26\cdot\frac{1000}{3600}=\frac{65}{9}\ \text{м/с}$$
- 2
Пешеход и поезд движутся навстречу друг другу, поэтому скорость их сближения равна сумме скоростей:$$v_{\text{сбл}}=\frac{65}{9}+4=\frac{101}{9}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 23 %. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах сухие вещества составляют $100\%-86\%=14\%$.$$396\cdot0{,}14=55{,}44\text{ кг}$$
- 2
Масса сухих веществ при сушке не изменяется. В высушенных фруктах сухие вещества составляют $100\%-23\%=77\%$.$$0{,}77x=55{,}44$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Расстояние между пристанями А и В равно 60 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и…
- 1
Скорость плота равна скорости течения реки, то есть 5 км/ч. Время, за которое плот проплыл 30 км:$$t_{\text{плота}}=\dfrac{30}{5}=6\text{ ч}$$
- 2
Лодка отправилась через час после плота, поэтому она находилась в пути:$$t_{\text{лодки}}=6-1=5\text{ ч}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Первые 160 км автомобиль ехал со скоростью 80 км/ч, следующие 100 км — со скоростью 50 км/ч, а последние 360 км — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Найдём время движения автомобиля на каждом участке пути.$$t_1 = \dfrac{160}{80} = 2\text{ ч},\quad t_2 = \dfrac{100}{50} = 2\text{ ч},\quad t_3 = \dfrac{360}{90} = 4\text{ ч}$$
- 2
Определим общий путь и общее время движения.$$S = 160 + 100 + 360 = 620\text{ км},\quad t = 2 + 2 + 4 = 8\text{ ч}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде…
- 1
Пусть $v$ км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Тогда скорость лодки против течения равна $v-1$ км/ч, а по течению — $v+1$ км/ч.$$v-1>0$$
- 2
Время движения против течения равно $\dfrac{255}{v-1}$ часов, а время движения по течению — $\dfrac{255}{v+1}$ часов. По условию обратный путь занял на 2 часа меньше:$$\dfrac{255}{v-1}-\dfrac{255}{v+1}=2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Свежие фрукты содержат 82 % воды, а высушенные — 28 %. Сколько сухих фруктов получится из 132 кг свежих фруктов?
- 1
В свежих фруктах сухое вещество составляет:$$100\% - 82\% = 18\%$$
- 2
Найдём массу сухого вещества в 132 кг свежих фруктов:$$132 \cdot 0{,}18 = 23{,}76\ \text{кг}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Из А в В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал весь путь с постоянной скоростью. Второй проехал первую половину пути со скоростью меньше скорости первого автомобиля на 11 км/ч, а…
- 1
Пусть скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а длина пути — $S$ км. Тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $(x-11)$ км/ч.$$v_1=x,\quad v_{2,1}=x-11,\quad v_{2,2}=66$$
- 2
Так как автомобили прибыли одновременно, времена их движения равны.$$\frac{S}{x}=\frac{S}{2(x-11)}+\frac{S}{132}$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Первая труба пропускает на 9 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 112 литров она заполняет на 4 минуты быстрее…
- 1
Пусть вторая труба пропускает $x$ литров воды в минуту. Тогда производительность первой трубы равна $x-9$ литров в минуту.
- 2
Время заполнения резервуара второй трубой равно $\dfrac{112}{x}$ минут, а первой трубой — $\dfrac{112}{x-9}$ минут.
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 176 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 19 км/ч…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению равна $19+x$ км/ч, а против течения — $19-x$ км/ч.
- 2
Время движения по течению равно $\dfrac{176}{19+x}$ ч, а время движения против течения — $\dfrac{176}{19-x}$ ч. С учётом стоянки получаем уравнение:$$\dfrac{176}{19+x}+1+\dfrac{176}{19-x}=20$$
Ещё 5 қадам — толық шешімде
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 28 минут, а затем продолжил движение до встречи…
- 1
Пусть $t$ часов — время от начала движения до встречи. Первый велосипедист находился в пути на 28 минут меньше, то есть его время движения равно $t - \dfrac{28}{60}$ часа.
- 2
Сумма расстояний, пройденных велосипедистами, равна расстоянию между городами:$$10\left(t - \dfrac{28}{60}\right) + 30t = 286$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Два велосипедиста одновременно отправляются в 208-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 3 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость…
- 1
Пусть $x$ км/ч — скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым. Тогда скорость первого велосипедиста равна $x+3$ км/ч.$$v_2=x,\quad v_1=x+3$$
- 2
Время движения второго велосипедиста на 3 часа больше времени движения первого.$$\frac{208}{x}-\frac{208}{x+3}=3$$
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую — со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
- 1
Пусть весь путь автомобиля равен $S$ км. Тогда каждая половина пути равна $\dfrac{S}{2}$ км.
- 2
Время движения на первой половине пути равно $t_1=\dfrac{S/2}{36}=\dfrac{S}{72}$ ч, а на второй половине — $t_2=\dfrac{S/2}{99}=\dfrac{S}{198}$ ч.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 57 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего по платформе параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу поезду, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся навстречу друг другу, их относительная скорость равна сумме скоростей.$$v_{\text{отн}} = 57 + 3 = 60\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$60\ \text{км/ч} = \frac{60 \cdot 1000}{3600} = \frac{50}{3}\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 93 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям по платформе со скоростью 3 км/ч, за 32 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
- 1
Так как поезд и пешеход движутся в одном направлении, скорость поезда относительно пешехода равна разности скоростей.$$v_{\text{отн}} = 93 - 3 = 90\ \text{км/ч}$$
- 2
Переведём относительную скорость в метры в секунду.$$90\ \text{км/ч} = \frac{90}{3{,}6} = 25\ \text{м/с}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого…
- 1
Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч. Тогда скорость второго бегуна равна $x+6$ км/ч.
- 2
За один час первый бегун пробежал $x$ км, и ему оставалось 4 км до конца круга. Значит, длина круга равна $x+4$ км.
Ещё 3 қадам — толық шешімде