Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по профильной математике: «Делимость чисел» — с ответами

Обозначим количества камней в коробках через $a$, $b$ и $c$. Всего камней всегда 201. При ходе из первой и второй коробок в третью изменения имеют вид $(-1,-1,+2)$; при ходе из первой и третьей во вторую — $(-1,+2,-1)$; при ходе из второй…

В начальном состоянии $a-b=97-104=-7\equiv2\pmod3$, а $a-c=97-0=97\equiv1\pmod3$.

За один ход каждый имеющийся кусок можно разделить не более чем на два куска. Поэтому после $k$ ходов из одной исходной линейки можно получить не более $2^k$ кусков.$$N_k \leq 2^k$$

Для линейки длиной 16 см четыре хода возможны: сначала получаем два куска по 8 см, затем четыре куска по 4 см, затем восемь кусков по 2 см и, наконец, шестнадцать кусков по 1 см.$$16 \to 2\cdot 8 \to 4\cdot 4 \to 8\cdot 2 \to 16\cdot 1$$

Пусть первое из четырёх чисел имеет вид $10q+r$, где $r$ — его последняя цифра. Чтобы последние цифры всех четырёх чисел не были равны нулю, достаточно и необходимо, чтобы $r\in\{1,2,3,4,5,6\}$. Тогда четыре числа равны $10q+r$…

После деления каждого числа на его последнюю цифру получаем формулу $S=\dfrac{10q+r}{r}+\dfrac{10q+r+1}{r+1}+\dfrac{10q+r+2}{r+2}+\dfrac{10q+r+3}{r+3}=4+10q\left(\dfrac1r+\dfrac1{r+1}+\dfrac1{r+2}+\dfrac1{r+3}\right)$.

Пусть исходное трёхзначное число имеет вид $100a+10b+c$, где $a\in\{1,2,\ldots,9\}$, а $b$ и $c$ — цифры. Сумма его цифр равна $a+b+c$.$$100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b$$

После деления получившейся разности на 3 результат операции равен:$$\frac{99a+9b}{3}=33a+3b=3(11a+b)$$

а) Если среди чисел есть 230, то остальные 99 различных натуральных чисел имеют сумму не менее суммы первых 99 натуральных чисел.$$1+2+\dots+99=\frac{99\cdot100}{2}=4950$$

Тогда общая сумма не менее $4950+230=5180$, что больше 5120. Поэтому число 230 на доске находиться не может.

Пусть первая операция применяется к x числам, а вторая — к y числам. При первой операции цифра десятков увеличивается на 2, а цифра единиц уменьшается на 5, поэтому число увеличивается на $20-5=15$.$$\Delta_1=15$$

При второй операции цифра десятков уменьшается на 2, а цифра единиц увеличивается на 2, поэтому число уменьшается на $20-2=18$.$$\Delta_2=-18$$

Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не превосходит $5$, выполняется $S_i\leqslant 5k_i$.

В последней день сумма не превосходит $5$, если в этот день записано одно число. В частности, поскольку суммы строго возрастают, при $n>6$ невозможно подобрать последовательность положительных целых сумм, каждая из которых не превосходит…

Пусть в группе $n$ юношей и $n$ девушек. Обозначим через $x$ число юношей, отправивших по 5 писем. Тогда $n-x$ юношей отправили по 16 писем. По условию $x\geqslant2$ и $n-x\geqslant2$.$$S=5x+16(n-x)=16n-11x$$

а) Если каждая девушка получила ровно 7 писем, то всего было отправлено $7n$ писем. Поэтому $16n-11x=7n$, откуда $9n=11x$. Можно взять $n=11$, $x=9$. Тогда 9 юношей отправляют по 5 писем, а 2 юноши — по 16 писем; всего отправлено $77$…$$9n=11x,\quad n=11,\quad x=9$$

Пусть записаны числа $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$. Среднее арифметическое любых четырёх чисел является целым, поэтому сумма любых четырёх чисел делится на $4$.$$\sum_{i\in I}a_i\equiv 0\pmod 4$$

Возьмём два набора из четырёх чисел, имеющих три общих числа, например $a,b,c,x$ и $a,b,c,y$. Разность их сумм равна $x-y$ и также делится на $4$. Следовательно, любые два записанных числа сравнимы по модулю $4$.

Пусть $b$ — количество синих карточек, а $r$ — количество красных карточек. По условию наибольшее число на синей карточке равно $r$, поэтому $r$ — положительное число, кратное 5. Наибольшее число на красной карточке равно $3b$.

Числа, кратные 3 и большие $-45$, начиная с $-42$ и заканчивая $3b$, образуют последовательность из $b+15$ чисел. Поэтому для размещения $r$ различных чисел на красных карточках необходимо $r\leq b+15$.

Для пункта а) предъявим пример пяти различных натуральных чисел: $7,9,10,11,12$. Минимальное произведение двух чисел равно $7 \cdot 9 = 63 > 60$, а максимальное — $11 \cdot 12 = 132 < 140$. Следовательно, любые два произведения лежат…$$60 < 63 \leq xy \leq 132 < 140$$

Пусть для пункта б) на доске записаны шесть чисел $x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6$. Если $x_1 \leq 6$, то из условия $x_1x_2 > 60$ следует $x_2 \geq 11$. Поэтому $x_5 \geq 14$ и $x_6 \geq 15$, откуда $x_5x_6 \geq 210 > 140$, что…$$x_1 \leq 6 \Rightarrow x_2 \geq 11 \Rightarrow x_5x_6 \geq 14 \cdot 15 > 140$$

Обозначим числа, идущие по кругу, через $a_1,a_2,\ldots,a_N$, считая индексы по модулю $N$. Из делимости сумм четырёх последовательных чисел получаем$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 4$$

Вычитая два соседних сравнения, получаем периодичность остатков по модулю 4:$$a_i\equiv a_{i+4}\pmod 4$$

Общая сумма денег на столе составляет$$S=2N+5(1200-N)=6000-3N$$

Рассмотрим случай $N\geq 500$. Тогда можно выбрать 500 монет по 2 рубля, и это будет наименьшая возможная сумма среди любых наборов из 500 монет. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы$$1000\geq\frac{6000-3N}{4}$$

Пусть $a$, $b$, $c$ — суммы чисел в первой, второй и третьей группах соответственно, а $m$, $n$, $k$ — количества чисел в этих группах. Тогда исходная сумма равна $S=a+b+c$, а новая сумма равна $10a+m+10b+8n+c$.

Для пункта а) требуется $10a+m+10b+8n+c=4(a+b+c)$, то есть $3(a+b+c)=9a+9b+m+8n$. Это возможно. Например, возьмём в первой группе число $1$, во второй — число $2$, в третьей — число $9$. Исходная сумма равна $12$, новая сумма равна…

Обозначим через $k_i$ количество чисел в $i$-й день, а через $S_i$ — сумму этих чисел. Тогда $k_1>k_2>\dots>k_n\geq 1$, $S_1<S_2<\dots<S_n$, а поскольку каждое число не больше $5$, имеем $S_i\leq 5k_i$.

а) Да, $n$ может быть любым, в частности больше $5$. Для заданного $n$ возьмём $k_i=m+n-i$, где $m$ достаточно велико, и $S_i=m+n-1+i$. Тогда количества строго убывают, суммы строго возрастают, а при достаточно большом $m$ выполняются…

Обозначим сумму цифр каждого слагаемого через $s$. По признаку делимости на 9 любое число сравнимо с суммой своих цифр по модулю 9.$$a\equiv s\pmod 9,\quad b\equiv s\pmod 9$$

Для пункта а) достаточно предъявить подходящее разложение:$$2043=1089+954$$

Число, кратное $45$, должно быть кратно $5$ и $9$. Поэтому одно из составляемых чисел оканчивается на $0$, а другое — на $5$.

Сумма всех использованных цифр равна $0+1+2+3+5+7+9=27$. Поэтому сумма цифр каждого из двух чисел должна быть кратна $9$.

Обозначим остаток числа, стоящего на $i$-м месте, при делении на 3 через $a_i$. Из делимости любых четырёх соседних чисел получаем$$a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}\equiv 0\pmod 3$$

Для следующей четвёрки имеем аналогичное равенство. Вычитая первое равенство из второго, получаем$$a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3}+a_{i+4}-(a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+a_{i+3})\equiv 0\pmod 3$$

Упорядочим числа: $x_1<x_2<\dots<x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $6\cdot6=36$, а сумма шести наибольших — $12\cdot6=72$.$$x_1+\dots+x_6=36,\qquad x_5+\dots+x_{10}=72$$

Суммы первых шести и последних шести чисел вместе содержат числа $x_5$ и $x_6$ дважды, а остальные — по одному разу. Поэтому сумма всех десяти чисел равна $108-(x_5+x_6)$.$$S=108-(x_5+x_6)$$

Пусть $a<b<c$ — числа тройки. Для наименьшего числа условие имеет вид $a\ge\dfrac{b+c}{3}+5$, то есть $3a\ge b+c+15$. Для двух остальных чисел это условие автоматически слабее, поскольку они больше $a$.$$3a\ge b+c+15$$

а) Для тройки $50,60,n$, где $n>60$, получаем $3\cdot50\ge60+n+15$. Следовательно, $n\le75$. Поэтому $n$ может принимать значения от 61 до 75 включительно.$$150\ge60+n+15\quad\Longrightarrow\quad n\le75$$