Решение: Среднее арифметическое чисел

Упорядочим числа: $x_1<x_2<\dots<x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $6\cdot6=36$, а сумма шести наибольших — $12\cdot6=72$.

Суммы первых шести и последних шести чисел вместе содержат числа $x_5$ и $x_6$ дважды, а остальные — по одному разу. Поэтому сумма всех десяти чисел равна $108-(x_5+x_6)$.

а) Если $x_{10}=14$, то шесть различных натуральных чисел, не превосходящих 14, имеют наибольшую возможную сумму $9+10+11+12+13+14=69$. Но по условию сумма шести наибольших равна 72. Следовательно, это невозможно.

б) Если среднее арифметическое всех десяти чисел равно $8{,}4$, то их сумма равна $84$. Поэтому $x_5+x_6=108-84=24$. Тогда сумма $x_7+x_8+x_9+x_{10}$ равна $72-24=48$. Но $x_5<x_6<x_7<\dots<x_{10}$, а при $x_5+x_6=24$ имеем $x_6\ge13$. Значит, сумма четырех последних чисел не меньше $14+15+16+17=62$, что противоречит равенству 48. Следовательно, это невозможно.

в) Для минимизации среднего арифметического нужно максимизировать $x_5+x_6$. Обозначим $x_5=a$, $x_6=b$. Так как четыре числа после $b$ различны и больше $b$, то $x_7+x_8+x_9+x_{10}\ge(b+1)+(b+2)+(b+3)+(b+4)=4b+10$.

Если $a+b\ge20$, то, поскольку $a<b$, имеем $b\ge11$. Тогда $a+5b=(a+b)+4b\ge20+44=64$, что противоречит неравенству $a+5b\le62$. Значит, $a+b\le19$.

Значение $a+b=19$ достижимо. Например, возьмем набор $1,2,6,8,9,10,11,12,13,17$. Сумма шести наименьших равна 36, а сумма шести наибольших равна 72.