Решение: Среднее арифметическое чисел
На доске написано 10 различных натуральных чисел. Среднее арифметическое шести наименьших из них равно 5, а среднее арифметическое шести наибольших равно 15.
Решение по шагам
9 шаговПусть числа расположены в порядке возрастания: $x_1 < x_2 < \dots < x_{10}$. По условию сумма шести наименьших чисел равна $30$, а сумма шести наибольших — $90$.
$$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=30,\quad x_5+x_6+x_7+x_8+x_9+x_{10}=90$$а) Если $x_1=3$, то пять следующих чисел — различные натуральные числа, большие 3. Их наименьшая возможная сумма равна $4+5+6+7+8=30$. Тогда сумма шести наименьших чисел была бы не менее $3+30=33$, что противоречит условию.
$$3+4+5+6+7+8=33>30$$Следовательно, наименьшее число не может равняться 3.
б) Обозначим $B=x_5+x_6$. Тогда сумма всех десяти чисел равна $120-B$. Если среднее арифметическое равно 11, сумма всех чисел должна быть равна $110$, поэтому $B=10$.
$$\sum_{i=1}^{10}x_i=120-B,\quad 110=120-B,\quad B=10$$Так как $x_1,x_2,x_3,x_4$ — четыре различных натуральных числа, меньших $x_5$, число $x_5$ должно быть не меньше 5. При $x_5+x_6=10$ и $x_6>x_5$ это невозможно: единственный возможный случай с $x_5\geq 5$ не даёт двух различных чисел. Поэтому среднее арифметическое 11 невозможно.
в) Для максимума среднего арифметического нужно минимизировать $B=x_5+x_6$. Первые четыре числа меньше $x_5$, поэтому при $x_5=a$ их максимальная возможная сумма равна $(a-1)+(a-2)+(a-3)+(a-4)=4a-10$. Из условия суммы первых шести чисел получаем необходимость $30-a-b\leq 4a-10$, где $b=x_6$.
$$30-a-b\leq 4a-10$$Проверка минимальных значений $a$ и $b$, учитывая $b>a$, показывает, что $a+b$ не может быть меньше 15. При $a=7$ и $b=8$ это значение достигается.
$$x_5+x_6\geq 15$$Например, подходят числа $1,2,5,7,8,9,10,11,12,45$. Сумма шести наименьших равна $30$, а сумма шести наибольших равна $90$.
$$1+2+5+7+8+9=30,\quad 8+9+10+11+12+45=90$$При $x_5+x_6=15$ сумма всех чисел равна $120-15=105$, поэтому наибольшее среднее арифметическое равно $105:10=10{,}5$.
$$\overline{x}_{\max}=\dfrac{120-15}{10}=10{,}5$$а) Нет. б) Нет. в) Наибольшее значение среднего арифметического равно $10{,}5$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Забывают, что шесть наименьших и шесть наибольших чисел имеют общие числа $x_5$ и $x_6$.
При проверке случая $x_1=3$ не учитывают различие и натуральность чисел.
Максимизируют сумму всех чисел вместо минимизации суммы $x_5+x_6$.
Не приводят пример набора чисел, на котором достигается найденный максимум.