Решение: Числа с целочисленными средними
На доске записано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырёх или пяти чисел из записанных является целым числом.
а) Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?
б) Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?
в) Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.
Решение по шагам
10 шаговПусть записаны числа $a_1,a_2,\ldots,a_{10}$. Среднее арифметическое любых четырёх чисел является целым, поэтому сумма любых четырёх чисел делится на $4$.
$$\sum_{i\in I}a_i\equiv 0\pmod 4$$Возьмём два набора из четырёх чисел, имеющих три общих числа, например $a,b,c,x$ и $a,b,c,y$. Разность их сумм равна $x-y$ и также делится на $4$. Следовательно, любые два записанных числа сравнимы по модулю $4$.
Аналогично, поскольку сумма любых пяти чисел делится на $5$, сравнение двух наборов из пяти чисел с четырьмя общими даёт делимость разности любых двух записанных чисел на $5$. Значит, все числа сравнимы между собой по модулю $5$.
Из сравнимости по модулям $4$ и $5$ следует, что все записанные числа сравнимы между собой по модулю $20$.
$$a_i\equiv a_j\pmod{20}$$В пункте а) имеем $403\equiv 3\pmod{20}$, а $2013\equiv 13\pmod{20}$. Эти остатки различны, поэтому оба числа не могут одновременно быть среди записанных.
В пункте б), если среди чисел есть 403, то каждое записанное число должно иметь остаток $3$ по модулю $20$. Но квадраты натуральных чисел по модулю $20$ имеют только остатки $0,1,4,5,9,16$.
$$x^2\pmod{20}\in\{0,1,4,5,9,16\}$$Остатка $3$ среди квадратов по модулю $20$ нет. Следовательно, квадрат натурального числа среди записанных чисел быть не может.
В пункте в) число 1 присутствует, поэтому все записанные числа должны быть сравнимы с 1 по модулю $20$. Следовательно, для квадрата $n^2$ необходимо выполнение условия $n^2\equiv 1\pmod{20}$.
Проверяем натуральные числа, большие 1: $2^2\equiv4$, $3^2\equiv9$, $4^2\equiv16$, $5^2\equiv5$, $6^2\equiv16$, $7^2\equiv9$, $8^2\equiv4$, $9^2\equiv1\pmod{20}$. Поэтому наименьшее подходящее значение — $n=9$.
Возможность подтверждается набором из десяти различных чисел: $1,21,41,61,81,101,121,141,161,181$. Все они сравнимы с 1 по модулю $20$, среди них есть $1$ и $81=9^2$. Сумма любых четырёх таких чисел делится на $4$, а сумма любых пяти — на $5$, поэтому условия задачи выполнены.
а) Нет. б) Нет. в) Наименьшее значение $n$ равно $9$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Сравнивают сами средние арифметические вместо сумм и не учитывают делимость суммы четырёх чисел на $4$ или суммы пяти чисел на $5$.
Делают вывод о сравнимости чисел только по одному модулю, например по модулю $4$, и не объединяют условия по модулям $4$ и $5$.
Ошибочно считают, что квадрат может иметь любой остаток по модулю $20$.
Для пункта в) находят число $n$, удовлетворяющее необходимому условию, но не приводят пример десяти чисел, доказывающий возможность.